diff --git a/.translate/state/information_transfer.md.yml b/.translate/state/information_transfer.md.yml new file mode 100644 index 00000000..f22717a2 --- /dev/null +++ b/.translate/state/information_transfer.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: 82b74376f5b9d90793f74bd4ce81d9facb253c50 +synced-at: "2026-11-11" +model: claude-sonnet-5 +mode: NEW +section-count: 12 +tool-version: 0.30.0 diff --git a/.translate/state/lucas_prescott_search.md.yml b/.translate/state/lucas_prescott_search.md.yml new file mode 100644 index 00000000..d556811b --- /dev/null +++ b/.translate/state/lucas_prescott_search.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: 82b74376f5b9d90793f74bd4ce81d9facb253c50 +synced-at: "2026-11-11" +model: claude-sonnet-5 +mode: NEW +section-count: 11 +tool-version: 0.30.0 diff --git a/lectures/_static/quant-econ.bib b/lectures/_static/quant-econ.bib index a77683af..939614b1 100644 --- a/lectures/_static/quant-econ.bib +++ b/lectures/_static/quant-econ.bib @@ -5922,3 +5922,225 @@ @article{anderson1951 pages = {327--351}, year = {1951} } + +@incollection{Green1982, + author = {Green, Jerry R.}, + title = {Statistical Decision Theory Requiring Incentives for Information + Transfer}, + booktitle = {The Economics of Information and Uncertainty}, + editor = {McCall, John J.}, + pages = {77--96}, + year = {1982}, + publisher = {University of Chicago Press}, + address = {Chicago}, + url = {https://www.nber.org/chapters/c4433} +} + +@article{MarschakMiyasawa1968, + author = {Marschak, Jacob and Miyasawa, Koichi}, + title = {Economic Comparability of Information Systems}, + journal = {International Economic Review}, + volume = {9}, + number = {2}, + pages = {137--174}, + year = {1968}, + doi = {10.2307/2525472} +} + +@incollection{Postlewaite1982, + author = {Postlewaite, Andrew}, + title = {Comment on ``Statistical Decision Theory Requiring Incentives for + Information Transfer''}, + booktitle = {The Economics of Information and Uncertainty}, + editor = {McCall, John J.}, + pages = {96--102}, + year = {1982}, + publisher = {University of Chicago Press}, + address = {Chicago} +} + +@incollection{Riley1982, + author = {Riley, John G.}, + title = {Comment on ``Statistical Decision Theory Requiring Incentives for + Information Transfer''}, + booktitle = {The Economics of Information and Uncertainty}, + editor = {McCall, John J.}, + pages = {102--106}, + year = {1982}, + publisher = {University of Chicago Press}, + address = {Chicago} +} + +@article{CrawfordSobel1982, + author = {Crawford, Vincent P. and Sobel, Joel}, + title = {Strategic Information Transmission}, + journal = {Econometrica}, + volume = {50}, + number = {6}, + pages = {1431--1451}, + year = {1982}, + doi = {10.2307/1913390} +} + +@article{Myerson1979, + author = {Myerson, Roger B.}, + title = {Incentive Compatibility and the Bargaining Problem}, + journal = {Econometrica}, + volume = {47}, + number = {1}, + pages = {61--73}, + year = {1979}, + doi = {10.2307/1912346} +} + +@incollection{Holmstrom1984, + author = {Holmstr{\"o}m, Bengt}, + title = {On the Theory of Delegation}, + booktitle = {Bayesian Models in Economic Theory}, + editor = {Boyer, Marcel and Kihlstrom, Richard E.}, + series = {Studies in Bayesian Econometrics}, + volume = {5}, + pages = {115--141}, + year = {1984}, + publisher = {North-Holland}, + address = {Amsterdam} +} + +@article{MelumadShibano1991, + author = {Melumad, Nahum D. and Shibano, Toshiyuki}, + title = {Communication in Settings with No Transfers}, + journal = {RAND Journal of Economics}, + year = {1991}, + volume = {22}, + number = {2}, + pages = {173--198}, + doi = {10.2307/2601016} +} + +@article{AlonsoMatouschek2008, + author = {Alonso, Ricardo and Matouschek, Niko}, + title = {Optimal Delegation}, + journal = {Review of Economic Studies}, + year = {2008}, + volume = {75}, + number = {1}, + pages = {259--293}, + doi = {10.1111/j.1467-937X.2007.00471.x} +} + +@article{KovacMylovanov2009, + author = {{Kov\'{a}\v{c}}, Eugen and Mylovanov, Tymofiy}, + title = {Stochastic Mechanisms in Settings without Monetary Transfers: The Regular Case}, + journal = {Journal of Economic Theory}, + year = {2009}, + volume = {144}, + number = {4}, + pages = {1373--1395}, + doi = {10.1016/j.jet.2008.06.008} +} + +@article{FischerStocken2001, + author = {Fischer, Paul E. and Stocken, Phillip C.}, + title = {Imperfect Information and Credible Communication}, + journal = {Journal of Accounting Research}, + year = {2001}, + volume = {39}, + number = {1}, + pages = {119--134}, + doi = {10.1111/1475-679X.00006} +} + +@article{Ivanov2010, + author = {Ivanov, Maxim}, + title = {Informational Control and Organizational Design}, + journal = {Journal of Economic Theory}, + year = {2010}, + volume = {145}, + number = {2}, + pages = {721--751}, + doi = {10.1016/j.jet.2009.11.002} +} + +@article{LucasPrescott1974, + author = {Lucas, Robert E., Jr. and Prescott, Edward C.}, + title = {Equilibrium Search and Unemployment}, + journal = {Journal of Economic Theory}, + volume = {7}, + number = {2}, + pages = {188--209}, + year = {1974}, + doi = {10.1016/0022-0531(74)90106-9} +} + +@book{PhelpsEtAl1970, + author = {Phelps, Edmund S. and others}, + title = {Microeconomic Foundations of Employment and Inflation Theory}, + publisher = {Norton}, + address = {New York}, + year = {1970} +} + +@article{LucasNeutrality1972, + author = {Lucas, Robert E., Jr.}, + title = {Expectations and the Neutrality of Money}, + journal = {Journal of Economic Theory}, + year = {1972}, + volume = {4}, + number = {2}, + pages = {103--124} +} + +@article{BaleyLjungqvistSargent2023, + author = {Baley, Isaac and Ljungqvist, Lars and Sargent, Thomas J.}, + title = {Cross-Phenomenon Restrictions: Unemployment Effects of Layoff Costs + and Quit Turbulence}, + journal = {Review of Economic Dynamics}, + volume = {50}, + pages = {43--60}, + year = {2023}, + doi = {10.1016/j.red.2023.07.004} +} + +@incollection{AlvarezVeracierto1999, + author = {Alvarez, Fernando and Veracierto, Marcelo}, + title = {Labor-Market Policies in an Equilibrium Search Model}, + booktitle = {NBER Macroeconomics Annual 1999}, + editor = {Bernanke, Ben S. and Rotemberg, Julio J.}, + volume = {14}, + pages = {265--304}, + publisher = {MIT Press}, + address = {Cambridge, MA}, + year = {1999} +} + +@article{LjungqvistSargent1998, + author = {Ljungqvist, Lars and Sargent, Thomas J.}, + title = {The {European} Unemployment Dilemma}, + journal = {Journal of Political Economy}, + year = {1998}, + volume = {106}, + number = {3}, + pages = {514--550} +} + +@article{BaleyLjungqvistSargent2025, + author = {Baley, Isaac and Ljungqvist, Lars and Sargent, Thomas J.}, + title = {Returns to Labour Mobility}, + journal = {The Economic Journal}, + volume = {135}, + number = {666}, + pages = {430--454}, + year = {2025}, + doi = {10.1093/ej/ueae054} +} + +@article{AlvarezVeracierto2001, + author = {Alvarez, Fernando and Veracierto, Marcelo}, + title = {Severance Payments in an Economy with Frictions}, + journal = {Journal of Monetary Economics}, + volume = {47}, + number = {3}, + pages = {477--498}, + year = {2001}, + doi = {10.1016/S0304-3932(01)00058-7} +} diff --git a/lectures/information_transfer.md b/lectures/information_transfer.md new file mode 100644 index 00000000..3fc264e8 --- /dev/null +++ b/lectures/information_transfer.md @@ -0,0 +1,1851 @@ +--- +jupytext: + text_representation: + extension: .md + format_name: myst + format_version: 0.13 + jupytext_version: 1.16.4 +kernelspec: + display_name: Python 3 (ipykernel) + language: python + name: python3 +translation: + title: 信息传递的激励 + headings: + Overview: 概述 + A statistical decision problem: 一个统计决策问题 + A statistical decision problem::States, signals, and actions: 状态、信号与行动 + A planner and an agent: 规划者与代理人 + A planner and an agent::Action plans and reports: 行动计划与报告 + A planner and an agent::The revelation principle: 显示原理 + A planner and an agent::Solving the linear program: 求解线性规划 + Economies with two actions: 具有两种行动的经济体 + Dominated actions as threats: 被支配行动作为威胁 + Truthful but coarse reports: 如实但粗略的报告 + Comparing experiments: 比较各个实验 + Comparing experiments::Blackwell's order through posteriors: 通过后验看布莱克韦尔序 + Comparing experiments::A transport problem: 一个运输问题 + Better information can hurt the planner: 更好的信息可能损害规划者 + Better information can hurt the planner::Green's third example: 格林的第三个例子 + Better information can hurt the planner::A family of refinements: 一族精细化方案 + Better information can hurt the planner::Experiments with two signals: 只有两种信号的实验 + What the discussants added: 评论者补充的内容 + Relation to other lectures: 与其他讲座的关系 + Relation to other lectures::Later work on communication and delegation: 关于沟通与授权的后续研究 + Concluding remarks: 结束语 + Exercises: 练习 +--- + +(information_transfer)= +```{raw} jupyter +
+ + QuantEcon + +
+``` + +# 信息传递的激励 + +```{contents} Contents +:depth: 2 +``` + +## 概述 + +在许多组织中，收集信息的人并不是根据信息采取行动的人。 + +股票经纪人研究一家公司，而客户决定是否购买其股票。 + +医生检查病人，而病人选择治疗方案。 + +部门经理了解当地情况，而总部则在各部门之间分配资本。 + +当信息提供者和决策者想要不同的东西时，信息提供者可能会歪曲他所看到的情况。 + +{cite:t}`Green1982` 研究了一位决策者——**规划者**——她必须从一位**代理人**那里获取观察结果，而该代理人对规划者行动的偏好与她不同。 + +规划者先行动，并承诺一个**行动计划**，即一条将每个可能的报告映射为行动上的概率分布的规则。 + +代理人随后观察到从某个统计实验中抽取的信号，形成后验，并发送该行动计划最能奖励的报告。 + +格林得出了以下结果。 + +1. 规划者将自己限制在使代理人更愿意如实报告的计划中并不会有所损失，因此规划者的问题是一个单一的线性规划问题。 +2. 在两种行动的情况下，规划者最多只能做到忽略代理人或听任代理人行事；在两种行动和两种信号的情况下，她要么达到她的第一优选结果，要么从代理人那里一无所获。 +3. 当行动数超过两种时，最优计划可以随机化，并且可以将正概率赋予一个规划者如果自己看到信号就绝不会采取的行动。 +4. 如实报告并不意味着所有信息都被利用：最优计划可以在区分某些信号的同时，将另一些信号合并处理。 +5. 按照 {doc}`blackwell_kihlstrom` 的含义，给代理人提供信息量更大的实验，可能会降低规划者的预期效用。 +6. 当两个实验都只有两种信号时，这种情况不会发生。 + +结果5和6将格林的模型与布莱克韦尔定理联系起来。 + +亲自看到信号的决策者永远不会偏好信息量较小的实验。 + +而必须从他人那里获取信号的规划者有时确实会如此，因为更清晰的信号可能会暴露出一种被较粗糙信号所掩盖的利益冲突。 + +为了比较实验，格林采用了 {cite:t}`MarschakMiyasawa1968` 提出的、用后验概率来刻画布莱克韦尔序的方法。 + +我们将看到，他们的刻画方式将"一个实验是否是另一个实验的粗化"这一问题，转化为了 {doc}`opt_transport` 中所研究的那种运输问题，并附加了一组额外的约束。 + +该论文发表时附有 {cite:t}`Postlewaite1982` 和 {cite:t}`Riley1982` 的评论。 + +练习题将逐步讲解他们的例子，以及 {cite:t}`MarschakMiyasawa1968` 对信息条件的比较。 + +本讲座的内容安排如下。 + +1. 我们用格林的符号建立一个统计决策问题。 +2. 我们引入一个代理人，陈述格林的显示原理，并求解规划者的线性规划问题。 +3. 我们研究具有两种行动的经济体，以及格林关于随机化和合并信号的例子。 +4. 我们使用马尔沙克-宫泽刻画来比较实验，展示更优的信息如何会损害规划者，并证明当两个实验都有两种信号时这种情况不会发生。 +5. 我们报告评论者补充了什么内容，并将格林的模型与其他讲座以及后续关于沟通和授权的研究联系起来。 + +我们先导入一些包。 + +```{code-cell} ipython3 +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +from scipy.optimize import linprog +from itertools import product + +np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) +``` + +## 一个统计决策问题 + +### 状态、信号与行动 + +有 $M$ 个自然状态 $\theta_1, \ldots, \theta_M$，其先验概率为 $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_M)$。 + +在行动之前，某人会观察到 $N$ 个信号 $y_1, \ldots, y_N$ 中的一个。 + +$M \times N$ 的**似然矩阵** $\Lambda = [\lambda_{mn}]$（我们也称之为**实验**）的元素为 + +$$ +\lambda_{mn} = \Pr(y_n \mid \theta_m), +$$ + +因此 $\Lambda$ 的每一行都是关于信号的一个概率分布。 + +信号概率和各状态的后验概率分别为 + +$$ +q = \Lambda^\top \pi, +\qquad +p_{mn} = \Pr(\theta_m \mid y_n) = \frac{\lambda_{mn} \pi_m}{q_n} . +$$ (it_bayes) + +我们将后验概率收集到 $M \times N$ 矩阵 $P = [p_{mn}]$ 中，其第 $n$ 列 $p_n$ 为信号 $y_n$ 之后的后验概率。 + +有 $K$ 种行动 $a_1, \ldots, a_K$。 + +一个 $K \times M$ 的效用矩阵 $U = [u_{km}]$ 给出了行动 $a_k$ 在状态 $\theta_m$ 下的效用 $u_{km}$。 + +$K \times N$ 矩阵 $UP$ 的第 $(k, n)$ 个元素是信号 $y_n$ 之后行动 $a_k$ 的预期效用。 + +一个亲自观察到信号的决策者，会在 $UP$ 的每一列中选取数值最大的那个行动。 + +我们称这一规则为她的**第一优选计划**，而她的预期效用 + +$$ +v(\Lambda) = \sum_{n=1}^N q_n \max_k \, (UP)_{kn} +$$ (it_bayes_value) + +称为她的**第一优选值**。 + +如果没有信号，她会选择使 $(U\pi)_k$ 最大化的行动，其预期效用为 $v_0 = \max_k (U\pi)_k$。 + +下面的函数计算后验概率以及两个基准值 $v(\Lambda)$ 和 $v_0$。 + +```{code-cell} ipython3 +def posteriors(Λ, π): + """Signal probabilities q and the M x N matrix P of posteriors.""" + joint = π[:, None] * Λ + q = joint.sum(axis=0) + if np.any(q <= 0): + raise ValueError("every signal must have positive probability") + return q, joint / q + + +def bayes_value(U, Λ, π): + """Expected utility of a decision maker who sees the signal herself.""" + q, P = posteriors(Λ, π) + return q @ (U @ P).max(axis=0) + + +def no_info_value(U, π): + """Expected utility of the best action taken without a signal.""" + return (U @ π).max() +``` + +## 规划者与代理人 + +### 行动计划与报告 + +现在假设信号不是由决策者观察到的，而是由一个代理人观察到的。 + +从现在起，我们称决策者为规划者。 + +代理人在意规划者的行动以及状态，他的效用是一个 $K \times M$ 矩阵 $W = [w_{km}]$ 的元素。 + +格林用 $U'$ 表示代理人的矩阵；我们使用 $W$，并将撇号保留给可替代的实验。 + +规划者和代理人共享先验 $\pi$，且两者都知道 $\Lambda$、$U$ 和 $W$。 + +事件按如下顺序展开。 + +1. 规划者宣布一个行动计划，即一个 $N \times K$ 的马尔可夫矩阵 $Z = [z_{nk}]$，也就是一个各行之和为1的非负矩阵；$z_{nk}$ 是代理人报告 $y_n$ 时规划者采取行动 $a_k$ 的概率。 +2. 代理人观察到信号 $y_n$，其后验为 $p_n$。 +3. 代理人报告某个信号 $y_r$，该信号不必等于 $y_n$。 +4. 规划者从 $Z$ 的第 $r$ 行中抽取一个行动。 + +记 + +$$ +V = Z W P . +$$ + +$N \times N$ 矩阵 $V$ 的第 $(r, n)$ 个元素是代理人在看到 $y_n$ 但报告 $y_r$ 时的预期效用。 + +因此代理人的最佳报告就是每一列中数值最大的那些元素。 + +规划者是有承诺约束的：一旦代理人发言，她就要执行所宣布的随机化方案，即使根据该报告，在她看来另一个行动可能更好。 + +格林强调，这包括抽签本身。 + +在报告 $y_r$ 之后，她必须采取第 $r$ 行的彩票所产生的任何行动；她不能用该行允许的行动中她最喜欢的那个来替代，并声称彩票选择了它。 + +从这个意义上说，规划者是一个斯塔克尔伯格领导者，就像 {doc}`Stackelberg plans ` 中那样。 + +承诺使她能够做出威胁——比如下文格林第一个例子中的被支配行动——而如果她能够在听到报告后重新进行最优化，她就不会真正执行这些威胁。 + +承诺的价值也是 {doc}`phillips_credibility` 的主题，该讲座研究了基德兰德-普雷斯科特的货币政策模型。 + +如果没有承诺，规划者会在每次报告之后根据她的信念采取最优行动，我们就会处于 {cite:t}`CrawfordSobel1982` 的廉价交谈世界中。 + +### 显示原理 + +一个计划 $Z$ 诱导出一个**应答规则** $\rho$：在观察到 $y_n$ 之后，代理人报告 $y_{\rho(n)}$。 + +遵循格林的做法，应答规则是从观察到报告的确定性映射。 + +格林的第一个结果表明，规划者可以将自己限制在应答规则为恒等映射的计划中。 + +```{prf:theorem} 显示原理（格林的定理1） +:label: it_thm_revelation + +当代理人对每一个计划都以对他最优的应答规则作出反应时，规划者在所有行动计划中所能获得的最高预期效用，等于以下线性规划问题的值： + +$$ +\max_{Z} \; \sum_{n=1}^N q_n \sum_{k=1}^K z_{nk} \, (UP)_{kn} +$$ + +约束条件为 $z_{nk} \geq 0$，对每个 $n$ 都有 $\sum_k z_{nk} = 1$，以及**如实报告约束**：对所有 $n$ 和 $r$ 都有 $V_{nn} \geq V_{rn}$，即 + +$$ +\sum_{k=1}^K z_{nk} \, (WP)_{kn} +\;\geq\; +\sum_{k=1}^K z_{rk} \, (WP)_{kn} +\quad \text{for all } n \text{ and } r . +$$ +``` + +这个定理是机制设计中显示原理的一个版本；格林引用的与他的分析最接近的文献是 {cite:t}`Myerson1979`。 + +下面是论证过程。 + +假设计划 $Z$ 诱导出应答规则 $\rho$。 + +构造一个新计划 $\hat Z$，其第 $n$ 行为 $Z$ 的第 $\rho(n)$ 行。 + +$\hat Z$ 的各行都在 $Z$ 的各行之中，所以代理人没有新的选项。 + +在观察到 $y_n$ 之后，他此前选择了 $Z$ 的第 $\rho(n)$ 行，因此他愿意选择 $\hat Z$ 的第 $n$ 行，这与之前是同一个彩票。 + +在 $\hat Z$ 下如实报告时，规划者在每次观察之后的行动分布与在 $Z$ 和原始报告下的分布相同，所以她的预期效用是相同的。 + +格林将如实报告约束写成弱不等式，所以一个无差异的代理人被假定会如实报告。 + +我们用 $\hat v(\Lambda)$ 表示该线性规划的值。 + +一个忽略代理人报告的计划满足如实报告约束，而且没有任何计划能比一个亲自看到信号的规划者做得更好，因此 + +$$ +v_0 \;\leq\; \hat v(\Lambda) \;\leq\; v(\Lambda) . +$$ + +{cite:t}`Riley1982` 指出，经过恰当解释，显示原理本质上是定义性的：代理人只是从 $Z$ 的各行所构成的菜单中选择一个彩票。 + +这种解读使得格林的规划者成为一个菜单设计者，供一个信息更灵通的下属从中选择，这正是本讲座末尾所讨论的授权问题的主题。 + +如实报告并不意味着所有信息都能传递：如果 $Z$ 的两行相等，规划者就会对两个对应的信号一视同仁，这一点格林的第二个例子将会说明。 + +### 求解线性规划 + +我们将 $Z$ 的元素按行堆叠成一个长度为 $NK$ 的向量，并将问题交给 SciPy 的 `linprog`。 + +每行 $Z$ 之和为1的约束随后采用克罗内克积的形式 `np.kron(np.eye(N), np.ones(K))`。 + +{doc}`opt_transport` 是按列而不是按行堆叠的，所以在那里相同的形式表示的是列和约束。 + +由于 `linprog` 执行最小化，我们传入规划者目标的负值。 + +```{code-cell} ipython3 +def solve_planner(U, W, Λ, π, ties=None): + """ + Solve the planner's linear program of Green's revelation principle. + + U, W : K x M utility matrices of the planner and the agent + Λ : M x N likelihood matrix + π : prior over the M states + ties : None, "agent_best", or "agent_worst"; when the planner has + several optimal plans, return the one that the agent likes + best or least, instead of the one the solver happens to find + + Returns the N x K action plan Z, the planner's optimal expected + utility, and the agent's expected utility under Z when he reports + truthfully. + """ + q, P = posteriors(Λ, π) + K, N = U.shape[0], Λ.shape[1] + UP, WP = U @ P, W @ P + + # Entry n * K + k of the decision vector is z_{nk} + planner_obj = (UP * q).T.ravel() + agent_obj = (WP * q).T.ravel() + + # For every true signal n and every false report r, + # sum_k (z_{rk} - z_{nk}) (WP)_{kn} <= 0 + rows = [] + for n in range(N): + for r in range(N): + if r != n: + row = np.zeros((N, K)) + row[r] += WP[:, n] + row[n] -= WP[:, n] + rows.append(row.ravel()) + A_ub = np.array(rows).reshape(-1, N * K) + b_ub = np.zeros(len(A_ub)) + + # Each row of Z sums to one + A_eq = np.kron(np.eye(N), np.ones(K)) + b_eq = np.ones(N) + + def solve(c, A_ub, b_ub): + # HiGHS's presolve step occasionally misreports these small + # problems as infeasible, so we switch it off + res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, + bounds=(0, None), method="highs", + options={"presolve": False}) + if res.status != 0: + raise RuntimeError(res.message) + return res.x + + x = solve(-planner_obj, A_ub, b_ub) + planner = planner_obj @ x + if ties is not None: + # Among plans worth the planner's optimum up to a small tolerance, + # make the agent as well off (or as badly off) as possible; the + # plan returned is then optimal for the planner up to that tolerance + sign = {"agent_best": -1, "agent_worst": 1}[ties] + tol = 1e-8 * max(1, abs(planner)) + x = solve(sign * agent_obj, np.vstack([A_ub, -planner_obj]), + np.append(b_ub, -planner + tol)) + # Remove round-off below zero, and turn -0.0 into 0.0 + Z = np.maximum(x, 0.0).reshape(N, K) + 0.0 + return Z, planner, agent_obj @ x +``` + +当规划者有多个最优计划时，代理人的预期效用在不同计划之间可能不同。 + +当 `ties=None` 时，`solve_planner` 报告求解器所找到的那个最优计划下代理人的效用。 + +当 `ties="agent_best"` 或 `ties="agent_worst"` 时，它会求解第二个线性规划，使规划者保持在其最优值，同时使代理人尽可能地好或尽可能地差。 + +## 具有两种行动的经济体 + +在只有两种行动的情况下，规划者的问题变得简单，正如格林接下来的两个结果所示。 + +格林是针对两种状态证明了第一个结果，但下面的论证对任意数量的状态和信号都成立。 + +```{prf:theorem} 两种行动（格林的定理3） +:label: it_thm_two_actions + +如果 $K = 2$，规划者存在一个最优计划，它要么忽略代理人的报告，要么在每个信号之后，都采取代理人若身为决策者会选择的行动。 +``` + +在第二种情况下，规划者执行的是代理人的第一优选计划，而非她自己的。 + +在两种行动的情况下，$Z$ 的一行由 $z_{n1}$ 决定，即报告 $y_n$ 之后采取 $a_1$ 的概率，在本节中我们简记为 $z_n$。 + +在观察到 $y_n$ 之后，代理人对报告 $y_r$ 的评价为 + +$$ +(WP)_{2n} + z_r \left[(WP)_{1n} - (WP)_{2n}\right], +$$ + +所以无论他看到了什么信号，代理人仅凭 $z_r$ 对 $Z$ 的各行进行排序。 + +当他在后验下偏好 $a_1$ 时，他会报告具有最大 $z_r$ 的信号；当他偏好 $a_2$ 时，他会报告具有最小 $z_r$ 的信号。 + +因此，如实报告迫使 $z_n$ 在代理人偏好 $a_1$ 的那些信号上取同一个公共值 $z_{\rm hi}$，而在其余信号上取另一个公共值 $z_{\rm lo} \leq z_{\rm hi}$，至少在代理人从不恰好无差异的情况下如此。 + +如果代理人在每一个信号之后都偏好同一个行动，则所有 $z_n$ 都相等，计划忽略了报告。 + +否则，规划者的预期效用在三角形 $0 \leq z_{\rm lo} \leq z_{\rm hi} \leq 1$ 上关于 $(z_{\rm lo}, z_{\rm hi})$ 是线性的，所以它在某个顶点处达到最大值。 + +两个顶点 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ 忽略了报告，而第三个顶点 $(0, 1)$ 则使代理人在每一个信号之后都得到他偏好的行动。 + +所以 $\hat v(\Lambda) = \max\{v_0, v_A(\Lambda)\}$，其中 $v_A(\Lambda)$ 是规划者在每个信号之后都采取代理人所偏好行动时的预期效用；如果代理人有时处于无差异状态，应当以有利于规划者的方式打破这种平局。 + +该定理说明*某个*最优计划采取这两种形式之一。 + +当规划者的目标在三角形的某条边上保持不变时，介于两端之间的计划也是最优的，而且它们可能给代理人带来不同的收益。 + +格林指出解"必须"是这两种类型之一，但他自己的第三个例子（下文将研究）却有既非这两种类型的最优计划。 + +当同时具有两种行动和两种信号时，规划者要么全得要么全无。 + +```{prf:corollary} 两种行动和两种信号（格林的定理2） +:label: it_thm_two_signals + +如果 $K = N = 2$，那么要么 $\hat v(\Lambda) = v(\Lambda)$，即规划者达到她的第一优选结果；要么 $\hat v(\Lambda) = v_0$，即代理人的信息对她来说毫无价值。 +``` + +如果两位参与者的第一优选计划是一致的，规划者就宣布她自己的计划，代理人如实报告，且 $\hat v(\Lambda) = v(\Lambda)$。 + +相反，假设两者的计划不同，并且为了使论证简短，假设两位参与者都从不处于无差异状态。 + +根据 {prf:ref}`it_thm_two_actions`，$\hat v(\Lambda) = \max\{v_0, v_A(\Lambda)\}$，所以只需证明 $v_A(\Lambda) \leq v_0$ 即可。 + +* 如果代理人在两个信号之后都偏好同一行动，他的第一优选计划采取一个单一的行动，对规划者来说价值最多为 $v_0$。 +* 如果代理人偏好的行动在两个信号之间不同，而规划者的偏好不变，那么 $v_A(\Lambda) \leq v(\Lambda) = v_0$。 +* 如果两位参与者偏好的行动在两个信号之间都不同，那么它们是相反的，所以代理人的第一优选计划会在两个信号之后都给规划者带来她较不喜欢的行动，而在两个信号之后都采取其中任一行动都会更好。 + +在每种情况下，$\hat v(\Lambda) = v_0$。 + +这证明了该推论，并使其更加精确：在具有两种行动和两种信号的情况下，除非两位参与者有一个共同的第一优选计划，否则代理人的信息对规划者而言毫无价值。 + +为了用数值方法验证这两个结果，我们随机抽取一些经济体，使两位参与者的第一优选计划至少在一个信号之后有所不同，因为否则规划者会平凡地达到她的第一优选结果。 + +两位参与者的效用是正相关的，所以他们经常但并非总是意见一致。 + +```{code-cell} ipython3 +def random_economy(M, K, N, rng, corr=0.8): + """Random prior, likelihood matrix, and utilities with correlation corr.""" + π = rng.dirichlet(np.ones(M)) + Λ = rng.dirichlet(np.ones(N), size=M) + U = rng.normal(size=(K, M)) + W = corr * U + np.sqrt(1 - corr**2) * rng.normal(size=(K, M)) + return U, W, Λ, π + + +def plans_differ(U, W, Λ, π): + """True if the players' preferred actions differ after some signal.""" + _, P = posteriors(Λ, π) + return np.any((U @ P).argmax(axis=0) != (W @ P).argmax(axis=0)) + + +def agent_plan_value(U, W, Λ, π): + """Planner's expected utility when the agent's preferred action is taken.""" + q, P = posteriors(Λ, π) + k = (W @ P).argmax(axis=0) + return q @ (U @ P)[k, np.arange(len(q))] + + +rng = np.random.default_rng(1234) + +gaps, agent_wins = [], 0 +while len(gaps) < 500: + M, N = rng.integers(2, 5), rng.integers(2, 6) + U, W, Λ, π = random_economy(M, 2, N, rng) + if not plans_differ(U, W, Λ, π): + continue + v_hat = solve_planner(U, W, Λ, π)[1] + v_0, v_A = no_info_value(U, π), agent_plan_value(U, W, Λ, π) + gaps.append(abs(v_hat - max(v_0, v_A))) + agent_wins += v_A > v_0 + 1e-10 +print(f"K = 2: largest gap {max(gaps):.1e}; letting the agent have his way " + f"beats ignoring him in {agent_wins} of {len(gaps)} draws") + +gaps = [] +while len(gaps) < 500: + U, W, Λ, π = random_economy(rng.integers(2, 5), 2, 2, rng) + if not plans_differ(U, W, Λ, π): + continue + gaps.append(abs(solve_planner(U, W, Λ, π)[1] - no_info_value(U, π))) +print(f"K = N = 2: largest gap between v_hat and v_0 {max(gaps):.1e}") +``` + +在每一次抽取中，线性规划的值都等于定理所预测的值 $\max\{v_0, v_A(\Lambda)\}$，误差仅来自舍入。 + +在具有两种行动和两种信号的情况下，它总是等于 $v_0$，正如 {prf:ref}`it_thm_two_signals` 的加强版本所说的那样。 + +在信号更多的情况下，听任代理人行事有时会优于忽略他，但在大多数抽取中并非如此。 + +## 被支配行动作为威胁 + +在只有两种行动的情况下，一个彩票就是采取 $a_1$ 的某个概率，所以代理人对彩票的排序是由他对各行动的偏好所固定的，而规划者最多只能忽略他或听任他行事。 + +在有三种行动的情况下，即使代理人对各行动本身的排序没有改变，他对彩票的排序也可能随着后验的变化而变化，这使得规划者能够做得比这两种方案都更好。 + +格林的第一个例子有两种状态、两种信号和三种行动。 + +先验是均匀的，且 + +$$ +\Lambda = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/4 \\ 1/4 & 3/4 \end{bmatrix}, +\qquad +U = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}, +\qquad +W = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} . +$$ + +$\theta_1$ 的后验概率在 $y_1$ 之后为 $3/4$，在 $y_2$ 之后为 $1/4$。 + +如果规划者亲自看到信号，她会在 $y_1$ 之后采取 $a_2$，在 $y_2$ 之后采取 $a_1$。 + +代理人无论哪种信号都偏好 $a_2$，因此如果规划者宣布她自己的第一优选计划，一个看到 $y_2$ 的代理人会报告 $y_1$。 + +行动 $a_3$ 在两种状态下都给规划者带来 $-1$ 的收益，而 $a_2$ 带来 $0$，所以一个亲自看到信号的规划者永远不会采取 $a_3$。 + +让我们来求解规划者的线性规划。 + +```{code-cell} ipython3 +π_ex1 = np.array([1/2, 1/2]) +Λ_ex1 = np.array([[3/4, 1/4], + [1/4, 3/4]]) +U_ex1 = np.array([[-2.0, 3.0], + [0.0, 0.0], + [-1.0, -1.0]]) +W_ex1 = np.array([[0.0, -1.0], + [2.0, 0.0], + [0.0, -4.0]]) + +Z_ex1, v_ex1, _ = solve_planner(U_ex1, W_ex1, Λ_ex1, π_ex1) +print("optimal plan Z =\n", Z_ex1) +print(f"planner: {v_ex1:.4f}" + f" first best: {bayes_value(U_ex1, Λ_ex1, π_ex1):.4f}" + f" no information: {no_info_value(U_ex1, π_ex1):.4f}") +``` + +最优计划在报告为 $y_2$ 之后采取 $a_1$；在报告为 $y_1$ 之后，以 $9/14$ 的概率采取 $a_2$，以 $5/14$ 的概率采取被支配行动 $a_3$。 + +规划者的预期效用为 $\hat v(\Lambda) = 39/56 \approx 0.696$，介于她忽略代理人所得的 $v_0 = 0.5$ 与她亲自看到信号所得的 $v(\Lambda) = 0.875$ 之间。 + +格林报告的数值是 $0.696$，概率分别为 $0.643$ 和 $0.357$。 + +为什么被支配的行动会有所帮助呢？ + +该计划必须阻止一个看到 $y_2$ 的代理人报告 $y_1$，所以它在报告 $y_1$ 上附加了一个这个代理人所厌恶的行动。 + +按照每个候选威胁对规划者希望在 $y_1$ 之后采取的行动 $a_2$ 所造成的损失来衡量它们。 + +在如实的后验 $3/4$ 处，行动 $a_3$ 使规划者付出代价 $1$，而在一个说谎代理人的后验 $1/4$ 处，它使他付出代价 $1/2 - (-3) = 7/2$。 + +行动 $a_1$ 只会使规划者付出代价 $3/4$，但只会使说谎的代理人付出代价 $1/2 - (-3/4) = 5/4$。 + +所以 $a_3$ 相对于规划者每单位代价对说谎者施加的代价为 $7/2$，而 $a_1$ 为 $5/3$。 + +它是更便宜的威胁，因为它在状态 $\theta_2$ 中对代理人伤害最大，而看到 $y_2$ 的代理人认为该状态是可能发生的。 + +一个看到 $y_2$ 的代理人如实报告能得到 $-3/4$，所以这个威胁必须将他谎称看到 $y_1$ 所得到的收益降低 $1/2 - (-3/4) = 5/4$。 + +用 $a_3$ 时概率为 $(5/4)/(7/2) = 5/14$，这恰好使他在说实话和撒谎之间无差异；用 $a_1$ 时则需要概率为1。 + +随机化和被支配行动必须同时使用。 + +确定性计划会失败：无论哪种信号之后，代理人对各行动的排序都是相同的，即 $a_2$、然后是 $a_1$、再然后是 $a_3$，所以任何在两种报告之后采取不同行动的计划都会诱使看到某一信号的代理人撒谎，而在两种报告之后都采取同一行动的最佳计划只值 $v_0$。 + +如果没有 $a_3$，就只有两种行动，而代理人在两种后验下都偏好 $a_2$，所以根据 {prf:ref}`it_thm_two_actions` 背后的论证，如实报告迫使计划对两种报告一视同仁；满足这一条件的最佳计划在两种报告之后都采取 $a_1$，价值只有 $v_0$。 + +```{code-cell} ipython3 +v_no_threat = solve_planner(U_ex1[:2], W_ex1[:2], Λ_ex1, π_ex1)[1] +print(f"planner's value without a_3: {v_no_threat:.4f}") +``` + +下图绘制了每位参与者在每种行动下的预期效用对 $\theta_1$ 后验概率的函数。 + +虚线是该计划对报告 $y_1$ 所附加彩票的预期效用，点状竖线标出了两个后验值。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Expected utilities in Green's first example + name: fig-it-dominated +--- +p_grid = np.linspace(0, 1, 200) +lottery = Z_ex1[0] + +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4)) +for ax, mat, who, loc in zip(axes, (U_ex1, W_ex1), ("planner", "agent"), + ("upper right", "lower right")): + for k in range(3): + ax.plot(p_grid, mat[k, 0] * p_grid + mat[k, 1] * (1 - p_grid), + lw=2, label=f"$a_{k+1}$") + mix = lottery @ mat + ax.plot(p_grid, mix[0] * p_grid + mix[1] * (1 - p_grid), + "k--", lw=2, label="plan after report $y_1$") + for p_n in (1/4, 3/4): + ax.axvline(p_n, color="0.6", lw=1, ls=":") + ax.set_xlabel(r"posterior probability of $\theta_1$") + ax.set_ylabel(f"expected utility of the {who}") + ax.legend(loc=loc) + +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +在右侧面板中，虚线恰好在后验 $1/4$ 处与代理人关于 $a_1$ 的直线相交，而正是在这个后验上，看到 $y_2$ 的代理人处于无差异状态。 + +在后验 $3/4$ 处，虚线远高于 $a_1$ 的直线，所以看到 $y_1$ 的代理人严格地偏好如实报告。 + +在左侧面板中，虚线位于 $a_2$ 的直线之下。 + +在后验 $3/4$ 处的差距 $5/14$，就是规划者在报告 $y_1$ 之后的损失。 + +由于 $y_1$ 的概率为 $1/2$，她为了获取真实信息所付出的预期成本为 $5/28 = v(\Lambda) - \hat v(\Lambda)$。 + +## 如实但粗略的报告 + +格林的第二个例子展示了激励如何以另一种方式使规划者付出信息代价。 + +有三种概率相等的信号，格林直接给出了预期效用矩阵： + +$$ +WP = \begin{bmatrix} 1 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, +\qquad +UP = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . +$$ + +我们可以通过三种等可能的状态、均匀先验和一个完全信息的实验 $\Lambda = I$（对应 $P = I$）来表示这些内容。 + +```{code-cell} ipython3 +π_ex2 = np.full(3, 1/3) +Λ_ex2 = np.eye(3) +U_ex2 = np.array([[5.0, -1.0, -1.0], + [0.0, 0.0, 0.0], + [0.0, 0.0, 0.0]]) +W_ex2 = np.array([[1.0, 1.5, 0.0], + [0.0, 1.0, 0.0], + [0.0, 0.0, 1.0]]) + +Z_ex2, v_ex2, _ = solve_planner(U_ex2, W_ex2, Λ_ex2, π_ex2) +print("optimal plan Z =\n", Z_ex2) +print(f"planner: {v_ex2:.4f}" + f" first best: {bayes_value(U_ex2, Λ_ex2, π_ex2):.4f}" + f" no information: {no_info_value(U_ex2, π_ex2):.4f}") +``` + +规划者只希望在 $y_1$ 之后采取 $a_1$，但一个看到 $y_2$ 的代理人也喜欢 $a_1$，它对他的价值为 $3/2$，超过其他任何一种行动。 + +假设在报告 $y_1$ 之后，该计划以概率 $\alpha$ 采取 $a_1$，其余部分采取 $a_3$（即看到 $y_2$ 的代理人最不喜欢的行动），而在报告 $y_2$ 之后，它以概率 $\beta$ 采取 $a_1$，否则采取 $a_2$。 + +一个看到 $y_2$ 的代理人如实报告能得到 $1 + \beta/2$，谎称 $y_1$ 能得到 $3\alpha/2$，所以如实报告要求 $\beta \geq 3\alpha - 2$。 + +所以，在报告 $y_2$ 之后绝不采取 $a_1$ 的最佳计划，在报告 $y_1$ 之后以概率 $2/3$ 采取 $a_1$，这对规划者价值为 $10/9$。 + +超过 $\alpha = 2/3$ 之后，报告 $y_1$ 之后每增加一单位的 $a_1$ 概率能为规划者带来 $5$ 的收益，但会迫使报告 $y_2$ 之后三单位的概率落在 $a_1$ 上，每单位都使她付出代价 $1$，所以她将 $\alpha$ 一直提高到 $1$。 + +因此最优计划在报告 $y_1$ 和 $y_2$ 之后给出相同的彩票——确定采取 $a_1$，而线性规划证实在这个家族之外没有任何计划能做得更好。 + +代理人如实报告，但规划者对前两种信号一视同仁，获得 $4/3$，介于忽略代理人的 $1$ 与第一优选的 $5/3$ 之间。 + +$Z$ 的第三行并没有被确定：在报告 $y_3$ 之后，规划者在 $a_2$ 和 $a_3$ 之间是无差异的，而代理人的预期效用取决于她采取哪一个。 + +```{code-cell} ipython3 +for ties in ("agent_worst", "agent_best"): + agent = solve_planner(U_ex2, W_ex2, Λ_ex2, π_ex2, ties=ties)[2] + print(f"{ties}: agent {agent:.4f}") +``` + +在规划者的各个最优计划之间，代理人的预期效用在 $5/6$ 到 $7/6$ 之间变化。 + +## 比较各个实验 + +### 通过后验看布莱克韦尔序 + +为了探讨规划者是否希望她的代理人信息更灵通，格林需要一种对实验进行排序的方法。 + +设 $\Lambda'$ 是另一个实验，具有 $N'$ 个信号 $y'_1, \ldots, y'_{N'}$，用撇号标记从中计算出的所有量，比如 $q'$ 和 $P'$。 + +根据 {prf:ref}`thm-blackwell`，当且仅当存在一个 $N \times N'$ 的马尔可夫矩阵 $B$ 使得 $\Lambda' = \Lambda B$ 时，对于每一个效用矩阵 $U$ 和每一个先验 $\pi$，都有 $v(\Lambda) \geq v(\Lambda')$。 + +当这成立时，称 $\Lambda$（弱）**信息量更大**，而 $\Lambda'$ 是 $\Lambda$ 的**粗化**。 + +```{note} +在 {doc}`blackwell_kihlstrom` 中，实验写作 $\mu$ 而非 $\Lambda$，粗化矩阵是随机变换 $Q$ 而非 $B$；该讲座中 $B(\mu, A, u)$ 表示一组可达到的预期效用向量。 + +该讲座还用 $N$ 来计数状态、用 $M$ 来计数信号，将先验写作 $p$，并用 $U$ 表示不确定性函数而非效用矩阵。 +``` + +正如格林所指出的，布莱克韦尔条件可以通过求解关于 $B$ 的线性不等式来检验，这比对所有效用矩阵比较决策者要容易得多。 + +不过，为了格林的目的，一个用后验表示的版本更为有用，因为代理人的激励取决于他的后验。 + +{cite:t}`MarschakMiyasawa1968` 表明，在固定具有完全支持的先验的情况下，当且仅当存在两个信号的联合分布 $J = [J_{nn'}]$（边际分布为 $q$ 和 $q'$）满足 + +$$ +\sum_{n=1}^N p_{mn} \, J_{nn'} = p'_{mn'} \, q'_{n'} +\quad \text{for all } m \text{ and } n' . +$$ (it_barycenter) + +时，$\Lambda$ 的信息量才大于 $\Lambda'$。 + +于是，信息量较小的实验的每一个后验，都是信息量较大的实验的后验的一种加权平均，权重为 $J_{nn'}/q'_{n'}$，即给定 $y'_{n'}$ 时 $y$ 的条件分布。 + +我们称 {eq}`it_barycenter` 为**平均化条件**。 + +这正是基尔斯特罗姆在 {doc}`blackwell_kihlstrom` 中所强调的性质：在 $\Lambda$ 之下后验的分布是在 $\Lambda'$ 之下后验分布的一种保均值展形。 + +格林用这些权重的矩阵 $C = J \operatorname{diag}(q')^{-1}$（其各列均为概率向量）来表述这个条件： + +$$ +P' = P C +\qquad \text{and} \qquad +q = C q' . +$$ (it_mm) + +这是格林的方程（12），取自马尔沙克和宫泽。 + +给定 $J$，矩阵 $B = \operatorname{diag}(q)^{-1} J$（给定 $y$ 时 $y'$ 的条件分布）即为布莱克韦尔的粗化。 + +这是格林的方程（13），对应于马尔沙克和宫泽的方程（8.23）。 + +要验证 $\Lambda' = \Lambda B$，可利用 {eq}`it_bayes` 中的 $\lambda_{mn}/q_n = p_{mn}/\pi_m$，再结合 {eq}`it_barycenter`： + +$$ +(\Lambda B)_{mn'} = \frac{1}{\pi_m} \sum_n p_{mn} J_{nn'} = \frac{p'_{mn'} \, q'_{n'}}{\pi_m} = \lambda'_{mn'} . +$$ + +### 一个运输问题 + +求 $J$ 是一个线性可行性问题，我们使用 {doc}`linear programming ` 中的工具来求解。 + +若没有平均化条件，$J$ 可以是 {doc}`opt_transport` 中的任何一个运输方案，即边际分布为 $q$ 和 $q'$ 的任意联合分布，而独立耦合 $J = q q'^\top$ 总是可行的。 + +平均化条件是一组额外的线性约束，它使得该运输方案成为两个后验分布之间的**鞅耦合**。 + +这里没有需要最小化的成本，所以我们给 `linprog` 传入一个零目标函数。 + +列和约束是由 {eq}`it_barycenter` 蕴含的，因为 $P$ 每一列中的后验之和为1，所以我们只施加行和约束以及 {eq}`it_barycenter`。 + +```{code-cell} ipython3 +def garbling(Λ, Λ_prime, π): + """ + Look for a joint distribution J of the signals of Λ and Λ_prime under + which every posterior of Λ_prime is the J-weighted average of + posteriors of Λ. + + Returns Blackwell's Markov matrix B, with Λ_prime = Λ B, or None if + the solver reports that no such J exists. + """ + if np.any(π <= 0): + raise ValueError("the prior must give every state positive probability") + q, P = posteriors(Λ, π) + q_prime, P_prime = posteriors(Λ_prime, π) + N, N_prime = len(q), len(q_prime) + + # Entry n * N_prime + j of the decision vector is J[n, j] + A_eq = np.vstack([np.kron(np.eye(N), np.ones(N_prime)), # row sums + np.kron(P, np.eye(N_prime))]) # averaging + b_eq = np.concatenate([q, (P_prime * q_prime).ravel()]) + # As in solve_planner, we switch off presolve, so that a spurious + # infeasibility report cannot pass for a missing garbling + res = linprog(np.zeros(N * N_prime), A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, + bounds=(0, None), method="highs", + options={"presolve": False}) + if res.status == 2: # infeasible + return None + if res.status != 0: + raise RuntimeError(res.message) + J = np.maximum(res.x, 0.0).reshape(N, N_prime) + 0.0 + return J / q[:, None] +``` + +与 {doc}`blackwell_kihlstrom` 中的最小二乘搜索不同，这个函数要么（在求解器的数值容差范围内）精确地找到一个粗化，要么报告不存在这样的粗化。 + +## 更好的信息可能损害规划者 + +### 格林的第三个例子 + +当代理人的信息改善时，有两件事会发生变化。 + +规划者可以凭借更好的信号做出更好的决策，但更好的信号也会改变代理人愿意如实作出哪些报告。 + +格林的第三个例子表明，第二种效应可能占据主导地位。 + +有两种状态，先验为均匀分布，两种行动，且 + +$$ +U = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, +\qquad +W = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} . +$$ + +当 $\theta_1$ 的后验概率超过 $2/3$ 时，规划者偏好 $a_1$，而当其超过 $1/3$ 时，代理人偏好 $a_1$。 + +粗糙实验 $\Lambda'$ 具有两种信号，$\theta_1$ 的后验分别为 $3/4$ 和 $1/4$，每种概率为 $1/2$。 + +精细实验 $\Lambda$ 具有三种信号，后验分别为 $3/4$、$1/2$ 和 $0$，概率分别为 $1/2$、$1/4$ 和 $1/4$。 + +下面的函数根据给定的 $\theta_1$ 的后验列表及其概率，构造一个两状态似然矩阵。 + +这些概率之和必须为1，且各后验的加权平均值必须等于 $\theta_1$ 的先验概率；否则 $\Lambda$ 的各行之和不为1。 + +```{code-cell} ipython3 +def experiment(post, probs, π): + """Two-state likelihood matrix with the given posteriors of θ_1.""" + post, probs = np.asarray(post), np.asarray(probs) + if not (np.isclose(probs.sum(), 1) and np.isclose(probs @ post, π[0])): + raise ValueError("the probabilities must sum to one and the " + "posteriors must average to the prior") + P = np.array([post, 1 - post]) + return P * probs / π[:, None] + + +π_ex3 = np.array([1/2, 1/2]) +U_ex3 = np.array([[2.0, 0.0], + [0.0, 4.0]]) +W_ex3 = np.array([[4.0, 0.0], + [0.0, 2.0]]) +Λ_coarse = experiment([3/4, 1/4], [1/2, 1/2], π_ex3) +Λ_fine = experiment([3/4, 1/2, 0], [1/2, 1/4, 1/4], π_ex3) + +print("B =\n", garbling(Λ_fine, Λ_coarse, π_ex3)) +print("reverse garbling:", garbling(Λ_coarse, Λ_fine, π_ex3)) +``` + +粗化矩阵 $B$ 将精细实验的第二个和第三个信号合并，所以精细实验信息量更大，而反过来的粗化并不存在。 + +让我们来比较规划者的值。 + +```{code-cell} ipython3 +for name, Λ in (("coarse", Λ_coarse), ("fine", Λ_fine)): + v_hat = solve_planner(U_ex3, W_ex3, Λ, π_ex3)[1] + print(f"{name}: planner {v_hat:.4f}, " + f"first best {bayes_value(U_ex3, Λ, π_ex3):.4f}") +print(f"no information: {no_info_value(U_ex3, π_ex3):.4f}") +``` + +在粗糙实验下，两位参与者在两种信号之后都意见一致，因为 $3/4$ 超过两个临界值，而 $1/4$ 低于两个临界值。 + +所以规划者宣布她自己的第一优选计划，代理人如实报告，两位参与者各获得 $9/4$。 + +精细实验将后验为 $1/4$ 的信号拆分为后验分别为 $1/2$ 和 $0$ 的信号。 + +在后验 $1/2$ 处，两位参与者意见不一致：规划者想要 $a_2$，而代理人想要 $a_1$。 + +根据 {prf:ref}`it_thm_two_actions`，规划者要么忽略代理人，要么听任他行事。 + +这两种选择对规划者的价值都是 $2$，低于 $9/4$，所以规划者宁愿她的代理人知道得更少一些。 + +事实上，介于这两者之间的每一个计划也都是最优的，代理人的收益沿着这些计划变化。 + +```{code-cell} ipython3 +for ties in ("agent_worst", "agent_best"): + Z, v_hat, agent = solve_planner(U_ex3, W_ex3, Λ_fine, π_ex3, ties=ties) + print(f"{ties}: planner {v_hat:.4f}, agent {agent:.4f}, plan\n{Z}") +``` + +在后验为 $0$ 的信号之后采取 $a_2$，而在另外两个信号之后以共同的概率 $z \in [0, 1]$ 采取 $a_1$，这样的每一个计划对规划者都值 $2$。 + +沿着这些计划，代理人的预期效用为 $1 + 3z/2$，当规划者忽略他时为 $1$，当她听任他行事时为 $5/2$。 + +代理人也有理由秘密获取这种更精细的信息。 + +假设规划者相信代理人拥有粗糙实验，并为此宣布她自己的第一优选计划，而代理人实际上观察到的是精细信号。 + +在后验为 $1/2$ 的信号之后，代理人偏好 $a_1$，所以他报告后验为 $3/4$ 的粗糙信号。 + +他的预期效用从 $9/4$ 上升到 $5/2$，而规划者的预期效用从 $9/4$ 下降到 $2$。 + +这说明了一个普遍的道理：对于一个固定的计划，代理人是一个从 $Z$ 的各行所构成的菜单中进行选择的单一决策者，所以根据布莱克韦尔定理，更好的信息永远不会损害他。 + +当更好的信息确实损害了代理人时，那是因为规划者知道代理人知道什么，从而选择了不同的计划。 + +{cite:t}`Postlewaite1982` 针对他自己的例子提出了关于秘密获取信息的这一点，并提出了他所称的"关于信息的信息"问题：只有当规划者知道代理人并没有秘密改进他的信息时，她才能依赖粗糙实验。 + +### 一族精细化方案 + +我们可以通过将后验为 $1/4$ 的粗糙信号拆分为后验分别为 $s$ 和 $0$ 的信号（其中 $s$ 介于 $1/4$ 和 $1$ 之间），来更全面地看出这种权衡。 + +后验为 $s$ 的信号的概率为 $1/(8s)$，这使得平均后验保持等于先验。 + +提高 $s$ 会使得该实验在布莱克韦尔意义下信息量更大，下面的代码沿着网格对此进行了验证。 + +该网格从刚好高于 $1/4$ 处开始，因为在 $s = 1/4$ 时，后验为 $0$ 的信号概率为零，此时的精细化方案就是粗糙实验本身。 + +```{code-cell} ipython3 +def refined(s): + """Green's example with the posterior 1/4 split into s and 0.""" + w = 1 / (8 * s) + return experiment([3/4, s, 0], [1/2, w, 1/2 - w], π_ex3) + + +s_grid = np.linspace(0.26, 1, 150) +nested = all(garbling(refined(s_hi), refined(s_lo), π_ex3) is not None + for s_lo, s_hi in zip(s_grid[:-1], s_grid[1:])) +print("each experiment is more informative than the previous one:", nested) + +v_hat_grid = np.array([solve_planner(U_ex3, W_ex3, refined(s), π_ex3)[1] + for s in s_grid]) +v_grid = np.array([bayes_value(U_ex3, refined(s), π_ex3) for s in s_grid]) +``` + +下图绘制了规划者由线性规划得到的值 $\hat v$ 以及她的第一优选值 $v$ 关于 $s$ 的函数。 + +点状竖线标出了代理人的临界值 $1/3$ 和规划者的临界值 $2/3$。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Planner's value as information improves + name: fig-it-refine +--- +fig, ax = plt.subplots() +ax.plot(s_grid, v_grid, lw=5, alpha=0.4, label="planner observes the signal") +# v_hat jumps at s = 1/3, so we draw the two pieces separately +for piece, label in ((s_grid < 1/3, "agent observes the signal"), + (s_grid > 1/3, None)): + ax.plot(s_grid[piece], v_hat_grid[piece], color="C1", lw=2, label=label) +ax.axhline(no_info_value(U_ex3, π_ex3), color="0.6", lw=1, ls="--", + label="no information") +for cutoff in (1/3, 2/3): + ax.axvline(cutoff, color="0.6", lw=1, ls=":") +ax.set_xlabel("posterior $s$ of the refined signal") +ax.set_ylabel("planner's expected utility") +ax.legend() +plt.show() +``` + +第一优选值 $v$ 随着 $s$ 的上升永不下降，这是布莱克韦尔定理所要求的，但规划者的值 $\hat v$ 却下降了。 + +对于 $s < 1/3$，两位参与者在任一精细信号之后都想要 $a_2$，所以这种精细化方案是无害的，也是无用的。 + +对于 $1/3 < s < 2/3$，两位参与者在后验为 $s$ 的信号之后意见不一致。 + +此时规划者要么忽略代理人，价值为 $2$，要么听任他行事，价值为 $3 - 1/(2s)$。 + +所以 $\hat v$ 在 $s = 1/3$ 处从 $9/4$ 跳跌到 $2$，并一直保持在 $2$，直到 $s = 1/2$，然后随着 $s$ 接近 $2/3$ 而重新攀升到 $9/4$ 附近。 + +只有当 $s > 2/3$ 时——此时规划者和代理人再次意见一致——这种精细化方案才改善了规划者的决策。 + +### 只有两种信号的实验 + +在格林的例子中，损害源于一种把一个信号拆分为两个的精细化方案。 + +他的最后一个结果表明，当两个实验都是**二项信道**（格林对只有两种信号的实验所用的术语）时，这种情况不会发生。 + +```{prf:theorem} 二项信道（格林的定理4） +:label: it_thm_binary + +如果 $\Lambda$ 比 $\Lambda'$ 信息量更大，且两者都具有两种信号，那么无论状态和行动的数量如何，都有 $\hat v(\Lambda) \geq \hat v(\Lambda')$。 +``` + +下面是一个证明。 + +设 $p_1$ 和 $p_2$ 是 $\Lambda$ 的后验，$p'_1$ 和 $p'_2$ 是 $\Lambda'$ 的后验。 + +根据 {eq}`it_barycenter`，每一个 $p'_{n'}$ 都是 $p_1$ 和 $p_2$ 的一种平均，所以两者都位于连接 $p_1$ 和 $p_2$ 的线段上。 + +如果 $p'_1 = p'_2$，那么 $\Lambda'$ 是无信息量的，$\hat v(\Lambda') = v_0$，无需再证。 + +否则，为 $\Lambda'$ 的信号标注标签，使得 $p'_1$ 比 $p'_2$ 更靠近 $p_1$。 + +设 $Z$ 是 $\Lambda'$ 下的一个最优计划，$\ell_1$ 和 $\ell_2$ 分别是其对应于报告 $y'_1$ 和 $y'_2$ 的行所表示的彩票。 + +在 $\Lambda$ 之下采用同样的计划，在报告 $y_n$ 之后采取彩票 $\ell_n$。 + +在后验 $p$ 处，代理人从彩票 $\ell_1$ 相对于彩票 $\ell_2$ 所获得的收益为 $\phi(p) = (\ell_1 - \ell_2) W p$，规划者的收益为 $\psi(p) = (\ell_1 - \ell_2) U p$。 + +两者都是关于 $p$ 的线性函数。 + +1. 在 $\Lambda'$ 下如实报告意味着 $\phi(p'_1) \geq 0 \geq \phi(p'_2)$。这四个后验以 $p_1, p'_1, p'_2, p_2$ 的顺序位于该线段上，所以一个在 $p'_1$ 和 $p'_2$ 处具有这些符号的线性函数，在 $p_1$ 和 $p_2$ 处也保持这些符号。因此 $\phi(p_1) \geq 0 \geq \phi(p_2)$，该计划使得在 $\Lambda$ 下如实报告也是最优的。 +2. $Z$ 在 $\Lambda'$ 下的最优性意味着 $\psi(p'_1) \geq 0 \geq \psi(p'_2)$。因为如果 $\psi(p'_1) < 0$，规划者本可以在两种报告之后都使用彩票 $\ell_2$ 做得更好，这是一个忽略代理人因而满足如实报告约束的计划；若 $\psi(p'_2) > 0$，情况类似。根据第1步的论证，$\psi(p_1) \geq 0 \geq \psi(p_2)$。 +3. 设 $J$ 是 {eq}`it_barycenter` 中两个信号的联合分布。由于 $q'_{n'} p'_{n'} = \sum_n J_{nn'} \, p_n$ 且 $q_n = \sum_{n'} J_{nn'}$，规划者在 $\Lambda$ 下采用该计划所得的预期效用减去在 $\Lambda'$ 下所得的预期效用为 + + $$ + \sum_n q_n \ell_n U p_n - \sum_{n'} q'_{n'} \ell_{n'} U p'_{n'} + = \sum_{n, n'} J_{nn'} (\ell_n - \ell_{n'}) U p_n + = J_{12} \, \psi(p_1) - J_{21} \, \psi(p_2) \;\geq\; 0 . + $$ + +规划者在 $\Lambda$ 下至少能做得和这个计划一样好，所以 $\hat v(\Lambda) \geq \hat v(\Lambda')$。 + +```{note} +格林的证明走的是同一条路径，但有两个漏洞。 + +首先，它为信号标注标签，使得粗化矩阵 $B$ 的每一行都在对角线上取得最大值。 + +这并非总是可能的：对于 $B = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.6 & 0.4 \end{bmatrix}$，无论如何标注标签，两行的最大元素都在同一列上。 + +论证所需要的那种标注方式正是上面所使用的方式，它等价于 $b_{11} \geq b_{21}$，即 $\det B \geq 0$。 + +其次，格林最后一步将一个仅为代理人证明的符号性质用在了规划者的收益上；上面的第2步则从 $Z$ 的最优性中补足了这一点。 +``` + +为了用数值方法验证这个定理，我们随机抽取最多具有四种状态、三种或四种行动的二项信道。 + +我们只保留那些定理确实有所作用的抽样结果。 + +如果 $\hat v(\Lambda') = v_0$ 或 $\hat v(\Lambda) = v(\Lambda)$，那么结论仅凭 $v_0 \leq \hat v \leq v$ 以及布莱克韦尔定理即可得出，所以我们跳过这些抽样结果。 + +在只有两种行动的情况下，根据 {prf:ref}`it_thm_two_signals`，$\hat v$ 要么是 $v_0$ 要么是 $v$，所以如果该定理成立，每一次抽样都会被跳过；这就是为什么我们使用三种或四种行动。 + +```{code-cell} ipython3 +rng = np.random.default_rng(4321) + +gains, tries = [], 0 +while len(gains) < 100: + tries += 1 + M, K = rng.integers(2, 5), rng.integers(3, 5) + U, W, Λ, π = random_economy(M, K, 2, rng) + if not plans_differ(U, W, Λ, π): # then v_hat(Λ) = v(Λ) + continue + Λ_prime = Λ @ rng.dirichlet(np.ones(2), size=2) + v_hat_prime = solve_planner(U, W, Λ_prime, π)[1] + if v_hat_prime < no_info_value(U, π) + 1e-8: + continue + v_hat = solve_planner(U, W, Λ, π)[1] + if v_hat > bayes_value(U, Λ, π) - 1e-8: + continue + gains.append(v_hat - v_hat_prime) +print(f"{len(gains)} informative draws out of {tries}") +print(f"smallest gain from better information: {min(gains):.4f}") +``` + +在这些抽样结果中，规划者在每一次抽样中都从更好的信息中获益。 + +当精细实验具有三种或更多信号时，该定理并不适用，但一个损失的产生仍然需要两位参与者在精细实验的某个后验处意见不一致，就像在 $1/3 < s < 2/3$ 时的 $s$ 那样；否则规划者就能达到 $\hat v(\Lambda) = v(\Lambda) \geq v(\Lambda') \geq \hat v(\Lambda')$。 + +## 评论者补充的内容 + +{cite:t}`Postlewaite1982` 构造了四状态的例子，即他的情形I到情形IV，其中信息量更大的实验可能使两位参与者都受益、都受损、使代理人受益而规划者受损、或使规划者受益而代理人受损。 + +{ref}`it_ex_postlewaite` 用线性规划对这些情形进行了检验。 + +在我们的随机抽样中，情形I和情形IV总是如他所说的那样。 + +在情形II中，当 $h$ 接近 $j$（正如波斯特怀特所假设的那样）时，代理人在每一次抽样中都受损，但规划者只在大约一半的抽样中受损。 + +在情形III中，代理人在每一次抽样中都受损而非受益，而规划者则在部分抽样中受益、在部分抽样中受损。 + +波斯特怀特问道，为什么代理人不能简单地忽略更好的信息，他的回答是：规划者知道代理人是知情的，可以设计她的计划，使得一个忽略了信息的代理人处境更糟。 + +正如我们在格林的第三个例子之后所看到的，在一个固定的计划下，更好的信息不可能损害代理人，所以"处境更糟"总是以弱的方式成立。 + +在他的例子中，这种关系仅以弱的方式成立：{ref}`it_ex_postlewaite` 研究了一族计划，它在情形II和情形III的例子中都包含了规划者的最优计划，并表明在该族计划中她所偏好的计划之下，一个忽略了精细信息的代理人所得到的收益，恰好等于他利用该信息所得到的收益。 + +代理人之所以受损，仅仅是因为规划者知道他信息更灵通，从而选择了不同的计划；这就是为什么波斯特怀特补充说，如果代理人能够说服规划者相信他已经这样做了，他就愿意承诺采用信息量较小的实验。 + +波斯特怀特还问道，是谁来选择实验，以及如果是代理人而不是规划者先行承诺，会发生什么。 + +他断言，构造出两位参与者在角色互换后都变得更好的例子是容易的；{ref}`it_ex_reverse` 在代理人按照格林所定义的方式承诺于一种确定性应答规则时，证实了这一点。 + +{cite:t}`Riley1982` 用关于预期效用对后验的图表（类似于 {numref}`fig-it-dominated`）解释了格林的例子，并给出了一个两状态的例子，在该例中，将一个被粗化的信息解析清楚反而使两位参与者都变得更糟。 + +他总结道，"除非以某种方式对该模型加以精细化，否则我们不能指望得到的仅仅是一堆特殊情形"，并提出了两种精细化方式。 + +一种是向代理人支付"视最终自然状态而定的报酬"。 + +另一种是考虑"信息交换的重复性质"，因为长期关系——比如经纪人与客户之间，或医生与病人之间的关系——能让双方了解到彼此的利益所在。 + +重复博弈也能让声誉替代承诺的作用，尽管 {doc}`phillips_credible_policies` 表明，声誉可以支撑许多结果，而不仅仅是承诺所能带来的那一个。 + +{ref}`it_ex_riley` 表明，当效用关于货币是线性的时，仅依赖状态的报酬无法改变代理人的报告，而依赖报告和状态两者的报酬则会减少（但在莱利的例子中并不能消除）更好信息所带来的损害。 + +## 与其他讲座的关系 + +{doc}`pricing_information` 研究了一个设计并定价布莱克韦尔实验的卖方，她用一个实验菜单来甄别先验信念是私人信息的买方。 + +格林的规划者同样用菜单进行甄别，但该菜单提供的是对规划者自身行动的彩票，而私人信息则是代理人的信号。 + +在 {doc}`information_market_equilibrium` 中，局外的观察者可以从均衡价格中推断出内部人的私人信息，所以信息是通过市场而非通过报告来传递的。 + +在 {doc}`util_rand_resp` 中，随机应答调查的设计者有意使每个答案的信息量都变小，从而使受访者愿意如实作答。 + +设计者宁愿接受一个被粗化但如实的答案，而不要一个更清晰但不如实的答案，这与格林第三个例子中规划者更喜欢一个拥有较粗糙实验的代理人颇为相似。 + +格林的规划者无法向代理人支付报酬，所以她是用自身行动上的扭曲来换取如实的报告。 + +当可以转移支付时，就像 {doc}`house_auction` 和 {cite:t}`Groves_73` 中的格罗夫斯-克拉克机制那样，支付可以替代这一作用；{ref}`it_ex_riley` 将支付加入了格林的模型中。 + +### 关于沟通与授权的后续研究 + +格林的模型属于一个策略性沟通模型的大家族，其成员的区别在于谁对什么做出承诺。 + +在这一文献的语言中，代理人是**发送方**，规划者是**接收方**。 + +* 在格林的模型中，接收方承诺了一个根据报告采取行动的计划。 +* 在 {cite:t}`CrawfordSobel1982` 的廉价交谈模型中，没有人做出承诺，接收方根据所听到的内容采取最优行动。 +* 在 {cite:t}`KamenicaGentzkow2011` 的说服模型中，发送方承诺产生信号的那个实验。 +* 在波斯特怀特的角色互换（于 {ref}`it_ex_reverse` 中研究）中，发送方承诺一个报告他所观察到内容的确定性规则，这相当于将说服限制在 $\Lambda$ 信号的分割之上；如果该规则可以随机化，则相当于将说服限制在 $\Lambda$ 的粗化之上。 + +莱利将格林的计划解读为一个菜单，这将它与 {cite:t}`Holmstrom1984` 的授权问题联系了起来，在该问题中，委托人选择一组行动，让代理人从中挑选一个；而格林的菜单所包含的则是对行动的彩票。 + +{cite:t}`MelumadShibano1991` 研究了在排除转移支付时有承诺和无承诺的沟通情形，{cite:t}`AlonsoMatouschek2008` 则刻画了最优的授权行动集合。 + +{cite:t}`KovacMylovanov2009` 允许像格林那样的随机化计划，并表明在二次支付函数和某个正则性条件下，最优计划不会随机化。 + +格林关于规划者可能偏好一个信息较少的代理人这一发现也有后续研究的延伸。 + +{cite:t}`FischerStocken2001` 表明，在廉价交谈中，一个信息较不精确的发送方反而可能使接收方获得更充分的信息，{cite:t}`Ivanov2010` 研究了一个在代理人进行沟通之前就限制其信息精度的委托人。 + +## 结束语 + +格林的模型将看到信号的人与根据信号采取行动的人区分开来。 + +承诺使规划者能够将代理人的激励问题转化为一个线性规划问题，其解可以随机化、使用被支配的行动作为威胁，并将信号合并处理。 + +由于激励约束取决于后验，实验之间的比较同样要通过后验来进行，而马尔沙克-宫泽的刻画方式将布莱克韦尔序转化为一个运输问题。 + +核心的教训关乎信息的价值。 + +布莱克韦尔定理对一个亲自看到信号的决策者来说为各实验排了序，但一旦信号必须从他人处获取，一个信息更灵通的代理人对规划者而言其价值反而可能更低——除非两个实验都只有两种信号。 + +## 练习 + +```{exercise} +:label: it_ex_riley + +{cite:t}`Riley1982` 用一个两状态、两行动例子的图示，说明了更好的信息如何能同时损害两位参与者，他将信号称为"信息"。 + +下面这些数据再现了他图C3.4中的模式。 + +莱利的正文中将这两种行动与他图中的标注方式相反；我们的标注遵循图中的方式。 + +先验是均匀的，以 $p$ 表示 $\theta_1$ 的后验概率，规划者从 $a_1$ 得到的预期效用为 $p$，从 $a_2$ 得到的为 $0.7$，而代理人从 $a_1$ 得到的为 $p$，从 $a_2$ 得到的为 $(1 - p)/2$。 + +在粗糙实验中，代理人的后验为 $0.8$ 或 $0.2$，每种概率均为 $1/2$。 + +在精细实验中，后验为 $0.2$ 的信号被解析为后验分别为 $0.4$ 和 $0$ 的信号，每种概率均为 $1/4$。 + +1. 使用 `garbling` 来验证精细实验比粗糙实验信息量更大。然后在两种实验下分别求解规划者的线性规划，比较两位参与者的预期效用，并利用 {prf:ref}`it_thm_two_actions` 解释这一结果。 +2. 莱利建议向代理人支付"视最终自然状态而定的报酬"。假设两位参与者的效用都关于货币是线性的，所以支付会增加代理人的效用，并减少规划者的效用。证明仅依赖状态的支付不能改变代理人的报告。 +3. 现在让规划者在代理人报告 $y_r$ 且状态最终为 $\theta$ 时支付 $t(r, \theta) \geq 0$。将线性规划扩展为同时选择计划和支付方案，并对精细实验求解。当支付只能依赖于报告时也这样做。支付是否消除了更好信息所带来的损害？ +``` + +```{solution-start} it_ex_riley +:class: dropdown +``` + +下面给出一种解法。 + +对于第1部分，我们构造两个实验，检验粗化关系，并在每种实验下求解线性规划。 + +```{code-cell} ipython3 +π_ri = np.array([1/2, 1/2]) +U_ri = np.array([[1.0, 0.0], + [0.7, 0.7]]) +W_ri = np.array([[1.0, 0.0], + [0.0, 0.5]]) +Λ_ri_coarse = experiment([0.8, 0.2], [1/2, 1/2], π_ri) +Λ_ri_fine = experiment([0.8, 0.4, 0.0], [1/2, 1/4, 1/4], π_ri) + +print("B =\n", garbling(Λ_ri_fine, Λ_ri_coarse, π_ri)) +print("reverse garbling:", garbling(Λ_ri_coarse, Λ_ri_fine, π_ri)) + +for name, Λ in (("coarse", Λ_ri_coarse), ("fine", Λ_ri_fine)): + Z, v_hat, agent = solve_planner(U_ri, W_ri, Λ, π_ri) + print(f"{name}: planner {v_hat:.4f}, agent {agent:.4f}, plan\n{Z}") + +print(f"fine, agent's first-best plan: " + f"planner {agent_plan_value(U_ri, W_ri, Λ_ri_fine, π_ri):.4f}, " + f"agent {bayes_value(W_ri, Λ_ri_fine, π_ri):.4f}") +``` + +在粗糙实验下，两位参与者在两种信号之后都意见一致：在 $0.8$ 处都想要 $a_1$，在 $0.2$ 处都想要 $a_2$。 + +所以规划者得到 $0.75$，代理人得到 $0.6$。 + +在精细实验下，两者在后验 $0.4$ 处意见不一致，此时规划者想要 $a_2$，而代理人想要 $a_1$。 + +根据 {prf:ref}`it_thm_two_actions`，规划者要么听任代理人行事（这对她价值 $0.675$，对他价值 $0.625$），要么忽略他（这对她价值 $0.7$）。 + +她选择忽略他，总是采取 $a_2$，这只给代理人留下 $0.25$。 + +将信号解析清楚使得两位参与者都变得更糟，正如莱利图中所示。 + +下图的结构与莱利的图相同。 + +在每个面板中，实线是一位参与者从两种行动中获得的预期效用，点状竖线标出了先验 $1/2$。 + +在粗糙实验下，规划者在 $0.2$ 处采取 $a_2$，在 $0.8$ 处采取 $a_1$，所以每位参与者的预期效用，就是连接该参与者在这两个后验处效用的虚线弦（实心点）在先验处的高度。 + +在精细实验下，规划者总是采取 $a_2$，所以每位参与者的预期效用，就是该参与者关于 $a_2$ 的直线在先验处的高度（空心点）。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Riley's example, with expected utilities read off at the prior + name: fig-it-riley +--- +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4)) +for ax, mat, who in zip(axes, (U_ri, W_ri), ("planner", "agent")): + for k in range(2): + ax.plot(p_grid, mat[k, 0] * p_grid + mat[k, 1] * (1 - p_grid), + lw=2, label=f"$a_{k+1}$") + # coarse experiment: a_2 at the posterior 0.2 and a_1 at the posterior 0.8 + ends = [mat[1] @ [0.2, 0.8], mat[0] @ [0.8, 0.2]] + ax.plot([0.2, 0.8], ends, "k--", lw=1) + ax.plot(0.5, np.mean(ends), "ko", label="coarse experiment") + # fine experiment: a_2 after every signal + ax.plot(0.5, mat[1] @ [0.5, 0.5], "o", mfc="white", mec="k", + label="fine experiment") + ax.axvline(0.5, color="0.6", lw=1, ls=":") + ax.set_xlabel(r"posterior probability of $\theta_1$") + ax.set_ylabel(f"expected utility of the {who}") + ax.legend() +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +在两个面板中，空心点都位于实心点下方：对规划者而言是 $0.70$ 对 $0.75$，对代理人而言是 $0.25$ 对 $0.6$。 + +对于第2部分，一个在状态 $\theta_m$ 下支付 $t(\theta_m)$ 的方案，会使 $W$ 的第 $m$ 列中每一个元素都增加 $t(\theta_m)$。 + +在观察到 $y_n$ 之后，代理人在每一种报告中都会额外得到 $\sum_m p_{mn} t(\theta_m)$，所以这种支付方案不会改变哪种报告是最好的。 + +更根本的是，它不会改变代理人在任何状态下对行动的排序，所以它无法减少他与规划者之间的冲突。 + +要改变代理人的激励，支付方案必须依赖于他所能控制的某些东西，比如他的报告。 + +对于第3部分，我们将支付加入决策向量。 + +依赖于报告 $r$ 和状态的支付方案，会使代理人在信号 $y_n$ 之后对报告 $y_r$ 的预期效用增加 $\sum_m p_{mn} t(r, \theta_m)$；仅依赖于报告的支付方案则增加 $t(r)$。 + +所以如实报告约束以及规划者的预期支付仍然是线性的。 + +有些支付——比如在后验为 $0$ 的报告下且状态为 $\theta_1$ 时的支付——在代理人如实报告时永远不会被执行，所以它们不会使规划者付出任何代价，也不会被确定下来；给每一笔支付都加上一个微小的代价，就能将这种平局打破为零。 + +```{code-cell} ipython3 +def solve_with_pay(U, W, Λ, π, on_state): + """ + Green's linear program when the planner can also pay the agent. + + If on_state is True the planner pays t[r, m] >= 0 when the agent + reports y_r and the state is θ_m; otherwise she pays t[r] >= 0 after + report y_r. Returns the plan, the payments, and the planner's + expected utility net of expected payments. + """ + q, P = posteriors(Λ, π) + K, N = U.shape[0], Λ.shape[1] + UP, WP = U @ P, W @ P + # S[l, n] is the probability of payment contingency l after signal n + S = P if on_state else np.ones((1, N)) + L = S.shape[0] + + # z_{nk} sits at n * K + k, then t[r, l] at N * K + r * L + l + expected_pay = (S * q).T.ravel() + c = np.concatenate([-(UP * q).T.ravel(), expected_pay + 1e-9]) + rows = [] + for n in range(N): + for r in range(N): + if r != n: + row_z, row_t = np.zeros((N, K)), np.zeros((N, L)) + row_z[r] += WP[:, n] + row_z[n] -= WP[:, n] + row_t[r] += S[:, n] + row_t[n] -= S[:, n] + rows.append(np.concatenate([row_z.ravel(), row_t.ravel()])) + A_ub = np.array(rows).reshape(-1, N * (K + L)) + A_eq = np.hstack([np.kron(np.eye(N), np.ones(K)), np.zeros((N, N * L))]) + res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=np.zeros(len(A_ub)), + A_eq=A_eq, b_eq=np.ones(N), bounds=(0, None), + method="highs", options={"presolve": False}) + if res.status != 0: + raise RuntimeError(res.message) + x = np.maximum(res.x, 0.0) + 0.0 + Z = x[:N * K].reshape(N, K) + t = x[N * K:].reshape(N, L) + planner = (UP * q).T.ravel() @ x[:N * K] - expected_pay @ x[N * K:] + return Z, t, planner + + +for on_state, name in ((True, "report and state"), (False, "report only")): + Z, t, v_net = solve_with_pay(U_ri, W_ri, Λ_ri_fine, π_ri, on_state) + print(f"pay on the {name}: planner {v_net:.4f}\nplan\n{Z}\npayments\n{t}") +``` + +在依赖报告和状态两者的支付方案下，规划者宣布她的第一优选计划，并在代理人报告后验 $0.4$ 且状态为 $\theta_1$ 时支付 $0.25$。 + +一个看到 $0.4$ 的代理人期望从这笔支付中获得 $0.4 \times 0.25 = 0.1$，这恰好等于他谎称看到 $0.8$ 所能获得的收益 $0.4 - 0.3$。 + +这种支付之所以便宜，是因为它是针对他而设计的：一个看到 $0$ 的代理人对此没有任何期望，而一个看到 $0.8$ 的代理人也不会受到诱惑。 + +预期支付为 $(1/4)(0.4)(0.25) = 0.025$，所以规划者得到 $0.725$。 + +仅依赖报告的支付方案中，规划者在报告 $0.4$ 之后支付 $1/12$，同时也在那里以 $1/6$ 的概率采取 $a_1$，净值为 $43/60 \approx 0.717$。 + +无论哪种方式，支付都缩小了更好信息所带来的损害，但并未将其消除：两个值都介于规划者在无支付方案下所得的 $0.70$，与她在无需支付的粗糙实验下所得的 $0.75$ 之间。 + +这些支付方案有两个值得关注的特点。 + +依赖状态的支付要求事后能够观察到该状态，就像股票的回报那样。 + +而且这些支付必须是非负的：格林的模型没有参与约束，所以如果没有这一限制，规划者可以向代理人收取任意大的费用，线性规划就会变得无界。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: it_ex_postlewaite + +{cite:t}`Postlewaite1982` 研究了四种等可能的状态 $\theta_1, \ldots, \theta_4$ 以及四种行动。 + +用规划者的正参数 $b, c, d, e$ 和代理人的正参数 $f, g, h, j$，收益矩阵（行是行动，列是状态）为 + +$$ +U = 2 \begin{bmatrix} b & 0 & c & 0 \\ 0 & c & 0 & b \\ d & 0 & e & 0 \\ 0 & e & 0 & d \end{bmatrix}, +\qquad +W = 2 \begin{bmatrix} 0 & f & 0 & g \\ g & 0 & f & 0 \\ h & 0 & j & 0 \\ 0 & j & 0 & h \end{bmatrix} . +$$ + +在精细实验中，代理人能观察到状态本身。 + +在粗糙实验中，他只能得知状态是在 $\{\theta_1, \theta_2\}$ 中还是在 $\{\theta_3, \theta_4\}$ 中。 + +1. 波斯特怀特的情形II假设 $b > d + e > (b + c)/2 > c$ 且 $f > h + j > (f + g)/2 > g$，他得出结论：如果上述不等式成立，并且如果"$h$ 充分接近 $j$"，那么精细实验会使两位参与者都变得更糟。取 $(b, c, d, e) = (10, 4, 5, 3)$ 和 $(f, g, h, j) = (10, 4.5, 3.9, 4)$。使用 `garbling` 验证精细实验比粗糙实验信息量更大。在两种实验下分别求解规划者的线性规划，并比较两位参与者的预期效用。精细实验下的最优计划将多少概率赋予了行动 $a_3$ 和 $a_4$（当 $b > d$ 且 $c > e$ 时，这两个行动对规划者而言是被支配的）？ +2. 考虑精细实验下这样一族计划：在报告 $\theta_1$ 和 $\theta_3$ 之后，以概率 $x$ 采取 $a_1$，否则采取 $a_3$；在报告 $\theta_2$ 和 $\theta_4$ 之后，以概率 $x$ 采取 $a_2$，否则采取 $a_4$。证明如实报告是最优的当且仅当 $x \leq x^* = \min\{h/(h + g), \, j/(j + f)\}$，并求出两位参与者的预期效用作为 $x$ 的函数。波斯特怀特写道，能够赋予 $a_1$ 和 $a_2$ 的概率"随着 $h$ 任意接近于 $j$ 而变得任意小"。这是正确的吗？ +3. 波斯特怀特的情形III假设 $b > c > d > e$、$b > d + e$、$f > g > j > h$ 且 $f < j + h$，他得出结论：当 $h$ 非常接近 $j$ 时，在精细实验下"代理人变得更好，而委托人变得更糟"。对 $(b, c, d, e) = (10, 6, 4, 3)$ 和 $(f, g, h, j) = (10, 8, 5.9, 6)$ 求解线性规划。然后证明，在情形III的不等式之下，规划者在第2部分那族计划中所偏好的计划，给予代理人的收益要少于他在粗糙实验下所得的收益。 +4. 波斯特怀特的情形I假设 $e > d > b > c$ 且 $j > h > f > g$，他得出结论：更好的信息使两位参与者都受益。他的情形IV假设 $b > c > d > e$、$b < d + e$、$f > g > j > h$ 且 $f > j + h$，他得出结论：当 $h$ 接近 $j$ 时，这使规划者受益而使代理人受损。对于这四种情形中的每一种，从 $[0, 10]^8$ 中均匀地抽取大量满足该情形不等式约束的参数向量（在情形II到情形IV中，使 $h$ 落在 $j$ 的 $0.1$ 范围之内），并记录每位参与者受益或受损的频率。由于规划者可能有多个最优计划，请比较代理人在所有这些计划下的收益。波斯特怀特的四个结论中，哪些在每一次抽样中都成立？ +``` + +```{solution-start} it_ex_postlewaite +:class: dropdown +``` + +下面给出一种解法。 + +我们构造收益矩阵以及两个实验。 + +在粗糙实验下，似然矩阵将状态 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 都映射到第一个信号，将状态 $\theta_3$ 和 $\theta_4$ 都映射到第二个信号，所以它同时也是该粗化方案。 + +```{code-cell} ipython3 +def postlewaite(b, c, d, e, f, g, h, j): + """Payoffs in Postlewaite's example (rows: actions, columns: states).""" + U = 2 * np.array([[b, 0, c, 0], + [0, c, 0, b], + [d, 0, e, 0], + [0, e, 0, d]], dtype=float) + W = 2 * np.array([[0, f, 0, g], + [g, 0, f, 0], + [h, 0, j, 0], + [0, j, 0, h]], dtype=float) + return U, W + + +π_pw = np.full(4, 1/4) +Λ_pw_fine = np.eye(4) +Λ_pw_coarse = np.array([[1.0, 0.0], + [1.0, 0.0], + [0.0, 1.0], + [0.0, 1.0]]) + +print("B =\n", garbling(Λ_pw_fine, Λ_pw_coarse, π_pw)) +``` + +下面的函数报告规划者的值，以及代理人预期效用在规划者所有最优计划上的范围，`compare` 为两种实验都打印出这些结果。 + +```{code-cell} ipython3 +def payoffs(U, W, Λ, π): + """ + Planner's value, the agent's lowest and highest payoffs across the + planner's optimal plans (up to the tolerance in solve_planner), and a + plan that gives the highest. + """ + _, v_hat, agent_lo = solve_planner(U, W, Λ, π, ties="agent_worst") + Z, _, agent_hi = solve_planner(U, W, Λ, π, ties="agent_best") + return v_hat, agent_lo, agent_hi, Z + + +def compare(params): + """Print both players' payoffs; return the plan for the fine experiment.""" + U, W = postlewaite(**params) + for name, Λ in (("coarse", Λ_pw_coarse), ("fine", Λ_pw_fine)): + v_hat, lo, hi, Z = payoffs(U, W, Λ, π_pw) + agent = f"{lo:.4f}" if np.isclose(lo, hi) else f"{lo:.4f} to {hi:.4f}" + print(f"{name}: planner {v_hat:.4f}, agent {agent}") + return Z + + +case_2 = dict(b=10, c=4, d=5, e=3, f=10, g=4.5, h=3.9, j=4) +Z_fine = compare(case_2) +print("optimal plan under the fine experiment:\n", Z_fine) +``` + +在粗糙实验下，"第一个信号之后采取 $a_1$，第二个信号之后采取 $a_2$"这一计划给规划者带来 $b = 10$，给代理人带来 $f = 10$，这是两者在该实验下所能获得的最大预期收益。 + +在精细实验下，规划者获得约 $9.71$，代理人获得约 $5.64$，所以两者都受损。 + +精细实验下的最优计划将约 $5/7 \approx 0.71$ 的概率赋予了被支配的行动 $a_3$ 和 $a_4$，波斯特怀特将其描述为"将大部分概率放在 $a_3$ 和 $a_4$ 上"。 + +对于第2部分，一个看到 $\theta_1$ 的代理人如实报告能得到 $2h(1 - x)$，而报告 $\theta_2$ 或 $\theta_4$ 能得到 $2gx$。 + +报告 $\theta_3$ 给出的彩票与如实报告相同。 + +所以他如实报告当且仅当 $h(1 - x) \geq g x$，即 $x \leq h/(h + g)$。 + +类似地，在状态 $\theta_4$ 中，如实报告要求 $x \leq h/(h + g)$，而在状态 $\theta_2$ 和 $\theta_3$ 中则要求 $j(1 - x) \geq f x$，即 $x \leq j/(j + f)$。 + +规划者的预期效用为 $(b + c) x + (d + e)(1 - x)$，当 $b + c > d + e$ 时随 $x$ 上升而增大，所以她将 $x$ 设为 $x^*$。 + +代理人的预期效用为 $(h + j)(1 - x)$。 + +```{code-cell} ipython3 +def family_values(b, c, d, e, f, g, h, j): + """x*, and both players' payoffs at x*, in the family of part 2.""" + x_star = min(h / (h + g), j / (j + f)) + planner = (b + c) * x_star + (d + e) * (1 - x_star) + return x_star, planner, (h + j) * (1 - x_star) + + +x_star, v_family, a_family = family_values(**case_2) +print(f"x* = {x_star:.4f}, planner {v_family:.4f}, agent {a_family:.4f}") +``` + +这些结果与线性规划的解相符。 + +当一个看到 $\theta_1$ 的代理人撒谎时，他得到的是在 $a_2$ 和 $a_4$ 上的彩票，而这两种行动在该状态下分别使他获得 $2g$ 和 $0$，所以他的如实报告约束比较的是 $h$ 和 $g$，$j$ 并不出现在这一约束中。 + +所以边界 $x^*$ 取决于 $h$ 与 $g$ 的比较以及 $j$ 与 $f$ 的比较，而不取决于 $h$ 与 $j$ 的比较。 + +所以波斯特怀特的断言并不正确：当 $h$ 接近 $j$ 时，赋予 $a_1$ 和 $a_2$ 的权重仍然远离零，在这个例子中它是 $2/7$。 + +一个只知道哪一对状态发生了的代理人，在这样的计划下能得到 $\max\{xf + (1-x)h, \, xg + (1-x)j\}$。 + +在 $x = x^*$ 处，这等于 $(1 - x^*)(h + j)$，恰好等于知情代理人所得到的。 + +如果 $x^* = j/(j + f)$（正如这个例子中那样），第一项等于 $(1 - x^*)(h + j)$，第二项不会更大，因为 $x^* \leq h/(h + g)$；如果 $x^* = h/(h + g)$，两项的角色则相反。 + +所以，在规划者于这族计划中所偏好的计划之下，忽略更精细的信息会让代理人恰好处境相同，而不是更糟。 + +对于第3部分，我们求解情形III，并与第2部分的那族计划相比较。 + +```{code-cell} ipython3 +case_3 = dict(b=10, c=6, d=4, e=3, f=10, g=8, h=5.9, j=6) +compare(case_3) +x_star, v_family, a_family = family_values(**case_3) +print(f"family of part 2: x* = {x_star:.4f}, planner {v_family:.4f}, " + f"agent {a_family:.4f}") +``` + +在粗糙实验下，两位参与者都得到 $10$，而在精细实验下，规划者得到 $10.375$，代理人得到 $7.4375$：规划者受益而代理人受损，这与波斯特怀特的结论恰好相反。 + +事实上，每当情形III的不等式成立时，在规划者所偏好的第2部分那族计划下，代理人都会受损。 + +由于 $b > d + e$，规划者将 $x$ 设为 $x^*$。 + +在粗糙实验下，代理人得到 $f$，而在这个计划下他得到 $(h + j)(1 - x^*)$。 + +更小的 $x$ 的计划原本能给他更多，在 $x = 0$ 时最多能达到 $h + j > f$，但规划者并没有选择这些计划。 + +如果 $x^* = h/(h + g)$，他的收益为 $(h + j) g/(h + g)$，这小于 $f$，因为 $g(j - f) < 0 < h(f - g)$。 + +如果 $x^* = j/(j + f)$，他的收益为 $(h + j) f/(j + f)$，这小于 $f$，因为 $h < f$。 + +波斯特怀特的论证之所以站不住脚，是因为他将 $a_1$ 和 $a_2$ 上的权重视为可忽略不计，这相当于在 $x = 0$ 附近评估代理人的收益。 + +对于第4部分，我们为每种情形抽取参数。 + +对于情形I、III和IV，将均匀抽取的数值排序能得到该情形中这些值有序区域上的一个均匀抽样，这比拒绝无序抽样要快得多。 + +在情形II到情形IV中，我们在 $j$ 的 $0.1$ 范围内抽取 $h$。 + +```{code-cell} ipython3 +def draw_case(case, rng, gap=0.1): + """ + Uniform draw from [0, 10]^8 subject to the inequalities of a case and, + in Cases II to IV, to h being within gap of j. + """ + def decreasing(n): + return np.sort(rng.uniform(0, 10, n))[::-1] + while True: + if case == "I": + e, d, b, c = decreasing(4) + j, h, f, g = decreasing(4) + ok = True + elif case == "II": + b, c, d, e, f, g, j = rng.uniform(0, 10, 7) + h = j + rng.uniform(-gap, gap) + ok = (0 < h < 10 and b > d + e > (b + c) / 2 > c + and f > h + j > (f + g) / 2 > g) + else: + b, c, d, e = decreasing(4) + f, g, j = decreasing(3) + h = j - rng.uniform(0, gap) + if case == "III": + ok = h > 0 and b > d + e and f < j + h + else: + ok = h > 0 and b < d + e and f > j + h + if ok: + return dict(b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g, h=h, j=j) + + +tol, n_draws = 1e-6, 300 +for case in ("I", "II", "III", "IV"): + rng = np.random.default_rng(0) + counts = dict(planner_gains=0, planner_loses=0, + agent_gains=0, agent_loses=0) + for _ in range(n_draws): + U, W = postlewaite(**draw_case(case, rng)) + v_c, lo_c, hi_c, _ = payoffs(U, W, Λ_pw_coarse, π_pw) + v_f, lo_f, hi_f, _ = payoffs(U, W, Λ_pw_fine, π_pw) + counts["planner_gains"] += v_f > v_c + tol + counts["planner_loses"] += v_f < v_c - tol + # the agent gains or loses whichever optimal plans are used + counts["agent_gains"] += lo_f > hi_c + tol + counts["agent_loses"] += hi_f < lo_c - tol + shares = ", ".join(f"{k} {v / n_draws:.0%}" for k, v in counts.items()) + print(f"Case {case}: {shares}") +``` + +情形I和情形IV在每一次抽样中都如波斯特怀特所说：在情形I中两位参与者都受益，在情形IV中规划者受益而代理人受损。 + +他对情形IV的论证重复了"$h$ 接近 $j$ 会使 $a_1$ 和 $a_2$ 上的权重可忽略不计"这一说法，而第2部分已表明这是错误的。 + +他关于规划者的结论并不需要这一说法：在情形IV的不等式下，第2部分那族计划中的每一个计划对她的价值都是 $(b + c)x + (d + e)(1 - x) > b$，因为 $b + c$ 和 $d + e$ 都超过 $b$。 + +族计划也给代理人带来 $(h + j)(1 - x) < f$，但规划者的最优计划有时会落在这个家族之外，所以代理人的损失取决于具体的抽样。 + +在情形II中，代理人在每一次抽样中都受损，但规划者在大约一半的抽样中受益，所以"两者都变得更糟"只在部分参数下成立。 + +下面是一个满足情形II不等式且 $h$ 接近 $j$ 的例子，在其中规划者受益。 + +```{code-cell} ipython3 +case_2_gain = dict(b=10, c=9, d=5, e=4.8, f=10, g=4.5, h=3.9, j=4) +_ = compare(case_2_gain) +``` + +规划者从 $10$ 上升到约 $12.43$，而代理人从 $10$ 下降到约 $5.64$。 + +波斯特怀特关于 $h$ 接近 $j$ 的条件对情形II中代理人那一侧很重要：如果没有这个条件，代理人是可能受益的。 + +```{code-cell} ipython3 +case_2_far = dict(b=9, c=3, d=2.5, e=4, f=8, g=7.8, h=1, j=6.95) +_ = compare(case_2_far) +``` + +这些参数满足情形II的不等式，且 $h$ 远离 $j$，代理人从 $8$ 上升到 $10.85$，而规划者从 $9$ 下降到 $8.5$，这正是波斯特怀特归属于情形III的模式。 + +在情形III中，代理人在每一次抽样中都受损，无论使用规划者的哪一个最优计划，而规划者在超过一半的抽样中受益。 + +第2部分仅为族计划中规划者所偏好的那个计划证明了代理人的损失；抽样结果表明这对线性规划的最优计划也同样成立，其中有一些落在该族计划之外。 + +这些比例取决于参数的抽取方式，所以它们描述的是每个区域上的均匀分布，而不是这些情形本身。 + +波斯特怀特更广泛的观点依然成立：更好的信息可能使两位参与者都变得更糟，或者使一方受益而另一方受损。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: it_ex_reverse + +{cite:t}`Postlewaite1982` 探讨了角色互换会发生什么：代理人先承诺一个应答规则，然后规划者根据她所听到的内容采取她认为最好的行动。 + +波斯特怀特沿用了格林的术语，格林的应答规则是确定性的；第1部分也允许代理人随机化。 + +1. 论证代理人仅推荐规划者愿意遵从的行动并无损失。将代理人的问题（他也可以随机化）写成关于一个 $N \times K$ 马尔可夫矩阵 $\Gamma = [\gamma_{nk}]$ 的线性规划，其中 $\gamma_{nk}$ 是代理人在观察到 $y_n$ 之后推荐 $a_k$ 的概率，约束条件为规划者的**服从约束**。假设一个处于无差异状态的规划者会遵从该推荐。 +2. 对 {ref}`it_ex_riley` 中莱利例子的精细实验、格林的第一个例子，以及 {ref}`it_ex_postlewaite` 中情形II的例子，求解该线性规划。然后通过检验所有确定性规则（其中每一个 $\gamma_{nk}$ 都是 $0$ 或 $1$），找出代理人最好的确定性规则。将两位参与者在这两种情形下（规划者领先时和代理人领先时）的预期效用加以比较。 +3. 波斯特怀特说，"构造出领导者-跟随者角色互换后委托人和代理人都变得更好的例子是容易的"。这些例子支持他的说法吗？ +``` + +```{solution-start} it_ex_reverse +:class: dropdown +``` + +下面给出一种解法。 + +对于第1部分，任何发送信息的规则都会使规划者在每条信息之后采取某个行动。 + +将所有导致她采取同一行动 $a_k$ 的信息合并为单个信息"采取 $a_k$"。 + +她在合并后的信息之后的后验，是她在原始信息之后各个后验的一种平均，而她在每一个原始后验处都偏好 $a_k$，所以根据线性性，她在合并后的后验处仍然偏好 $a_k$。 + +合并后的规则会产生相同的信号与行动联合分布，所以两位参与者的预期效用都不变，一个确定性规则在合并后仍是确定性的。 + +如果对每一个其他行动 $a_{k'}$，都有 + +$$ +\sum_{n=1}^N q_n \, \gamma_{nk} \left[(UP)_{kn} - (UP)_{k'n}\right] \;\geq\; 0 , +$$ + +规划者就会遵从推荐 $a_k$，而代理人在这些约束下最大化 $\sum_n q_n \sum_k \gamma_{nk} (WP)_{kn}$。 + +这就是 {cite:t}`KamenicaGentzkow2011` 的说服问题，不同之处在于代理人只能粗化他自己的信号，而不能设计他喜欢的任何实验。 + +对于第2部分，`solve_agent_leads` 求解线性规划，`best_deterministic_rule` 检验每一个确定性规则；`obedience_rows` 和 `leader_payoffs` 是两者都要用到的辅助函数。 + +```{code-cell} ipython3 +def obedience_rows(U, Λ, π): + """Rows of the obedience constraints, A @ vec(Γ) <= 0.""" + q, P = posteriors(Λ, π) + UP = U @ P + K, N = UP.shape + # Entry n * K + k of vec(Γ) is γ_{nk}; for each recommended action k + # and alternative j: sum_n q_n γ_{nk} [(UP)_{jn} - (UP)_{kn}] <= 0 + rows = [] + for k in range(K): + for j in range(K): + if j != k: + row = np.zeros((N, K)) + row[:, k] = q * (UP[j] - UP[k]) + rows.append(row.ravel()) + return np.array(rows) + + +def leader_payoffs(Γ, U, W, Λ, π): + """Expected utilities of the planner and the agent under Γ.""" + q, P = posteriors(Λ, π) + return q @ (Γ * (U @ P).T).sum(axis=1), q @ (Γ * (W @ P).T).sum(axis=1) + + +def solve_agent_leads(U, W, Λ, π): + """ + The agent's best randomized recommendation rule. + + Returns the N x K rule Γ and the expected utilities of the planner and + of the agent under it. + """ + q, P = posteriors(Λ, π) + K, N = U.shape[0], Λ.shape[1] + A_ub = obedience_rows(U, Λ, π) + res = linprog(-((W @ P) * q).T.ravel(), A_ub=A_ub, + b_ub=np.zeros(len(A_ub)), + A_eq=np.kron(np.eye(N), np.ones(K)), b_eq=np.ones(N), + bounds=(0, None), method="highs", + options={"presolve": False}) + if res.status != 0: + raise RuntimeError(res.message) + Γ = np.maximum(res.x, 0.0).reshape(N, K) + 0.0 + return (Γ, *leader_payoffs(Γ, U, W, Λ, π)) + + +def best_deterministic_rule(U, W, Λ, π): + """ + The agent's best deterministic recommendation rule, by enumeration; + among rules that are equally good for him, the planner's favorite. + + Returns the rule Γ and the expected utilities of the planner and of + the agent under it. + """ + K, N = U.shape[0], Λ.shape[1] + A_ub = obedience_rows(U, Λ, π) + best = None + for actions in product(range(K), repeat=N): + Γ = np.eye(K)[list(actions)] + if np.any(A_ub @ Γ.ravel() > 1e-12): + continue + planner, agent = leader_payoffs(Γ, U, W, Λ, π) + if (best is None or agent > best[2] + 1e-12 + or (agent > best[2] - 1e-12 and planner > best[1])): + best = (Γ, planner, agent) + return best + + +U_c2, W_c2 = postlewaite(**case_2) +examples = (("Riley", U_ri, W_ri, Λ_ri_fine, π_ri), + ("Green's first", U_ex1, W_ex1, Λ_ex1, π_ex1), + ("Case II", U_c2, W_c2, Λ_pw_fine, π_pw)) +for name, U, W, Λ, π in examples: + _, v_lead, a_lead = solve_planner(U, W, Λ, π) + _, v_rand, a_rand = solve_agent_leads(U, W, Λ, π) + _, v_det, a_det = best_deterministic_rule(U, W, Λ, π) + print(f"{name}: planner leads ({v_lead:.4f}, {a_lead:.4f}); " + f"agent leads, deterministic ({v_det:.4f}, {a_det:.4f}), " + f"randomized ({v_rand:.4f}, {a_rand:.4f})") +``` + +每一对数值中，第一个是规划者的预期效用，第二个是代理人的预期效用。 + +对于一个确定性规则，在莱利的例子和格林的第一个例子中，代理人的最佳选择都是如实报告。 + +承诺如实报告让规划者能够利用他所知道的一切信息来行动，这给了规划者她的第一优选值，并且给代理人带来的收益也超过了规划者领先时他所得到的收益。 + +在情形II中，他最好的确定性规则只报告哪一对状态发生了，这就相当于承诺采用粗糙实验，正如波斯特怀特所说他愿意做的那样；此时两位参与者都得到 $10$。 + +在这三个例子中，一个随机化规则能让代理人做得更好，但这是以牺牲规划者的利益为代价的。 + +在莱利的例子中，他以 $2/3$ 的概率在后验 $0.4$ 之后推荐 $a_1$，这个频率恰好足以使被告知采取 $a_1$ 的规划者（她随后将 $0.7$ 的概率赋予 $\theta_1$）愿意遵从。 + +在格林的第一个例子中，规划者下降到 $v_0 = 0.5$，在情形II中则下降到 $7$。 + +对于第3部分，对于他所描述的那种角色互换，波斯特怀特是正确的：在使用确定性应答规则的情况下，角色互换使这三个例子中的两位参与者都严格地变得更好。 + +在这些例子中，一个还可以随机化的代理人将规划者的收益据为己有，而规划者并不会变得更好，有时甚至比她领先时还要糟糕得多。 + +但这并非一般性的规律。 + +服从约束保证规划者至少能得到 $v_0$，因为她总可以不管收到何种推荐都采取同一个行动，所以当她自己的计划只能给她 $v_0$ 时，即使采用随机化规则，她让代理人领先也不会受损。 + +在莱利的例子中她只是打平，但在下面这个例子中，两位参与者都严格受益。 + +下面是一个具有两种状态、均匀先验和一个完全信息实验的例子。 + +```{code-cell} ipython3 +U_rv = np.array([[0.0, 2.0], + [2.0, 1.0], + [3.0, 0.0]]) +W_rv = np.array([[2.0, 2.0], + [0.0, 0.0], + [1.0, 2.0]]) +Λ_rv, π_rv = np.eye(2), np.array([1/2, 1/2]) + +v_lead = solve_planner(U_rv, W_rv, Λ_rv, π_rv)[1] +a_best = solve_planner(U_rv, W_rv, Λ_rv, π_rv, ties="agent_best")[2] +_, v_rand, a_rand = solve_agent_leads(U_rv, W_rv, Λ_rv, π_rv) +print(f"planner leads: planner {v_lead:.4f}, agent at most {a_best:.4f}") +print(f"agent leads, randomized: planner {v_rand:.4f}, agent {a_rand:.4f}") +``` + +当规划者领先时，她只能得到 $v_0 = 1.5$，代理人最多能得到 $1.5$；而当代理人用随机化规则领先时，两者都能得到 $1.75$。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: it_ex_mm + +{cite:t}`MarschakMiyasawa1968` 比较了关于后验概率的几个条件。 + +其中一个，我们称之为**凸包条件**，要求 $\Lambda'$ 的每一个后验都位于 $\Lambda$ 后验的凸包之内。 + +另一个条件是存在两个信号的联合分布 $J$（边际分布为 $q$ 和 $q'$）满足 {eq}`it_barycenter`；它等价于布莱克韦尔序。 + +取两种状态，先验为均匀分布。 + +实验 $\Lambda$ 的 $\theta_1$ 后验为 $0.9$、$0.5$、$0.1$，概率分别为 $0.05$、$0.9$、$0.05$。 + +实验 $\Lambda'$ 的后验为 $0.7$ 和 $0.3$，各自概率为 $1/2$。 + +1. 证明凸包条件对于 $\Lambda$ 相对于 $\Lambda'$ 成立，但 $\Lambda$ 的信息量并不比 $\Lambda'$ 更大。利用后验的方差解释这一现象。$\Lambda'$ 的信息量是否比 $\Lambda$ 更大？ +2. 一个实验的**歧义度**是后验的期望熵，$-\sum_n q_n \sum_m p_{mn} \log p_{mn}$。分别计算两个实验的歧义度。马尔沙克和宫泽的定理12.3表明，更低的歧义度是信息量更大的必要但非充分条件。通过找出对 $\Lambda$ 和 $\Lambda'$ 做出相反排序的两个决策者来说明这一点。并与 {doc}`blackwell_kihlstrom` 中对熵的处理进行比较。 +3. 马尔沙克和宫泽的定理10.1表明，当 $\Lambda$ 只有两种信号时，凸包条件是充分的。解释为什么，并用两种状态在数值上进行验证。这与 {prf:ref}`it_thm_binary` 的证明有何关系？ +``` + +```{solution-start} it_ex_mm +:class: dropdown +``` + +下面给出一种解法。 + +对于第1部分，$\Lambda'$ 的后验 $0.7$ 和 $0.3$ 位于 $\Lambda$ 后验所张成的区间 $[0.1, 0.9]$ 之内，所以凸包条件成立。 + +```{code-cell} ipython3 +π_mm = np.array([1/2, 1/2]) +Λ_mm = experiment([0.9, 0.5, 0.1], [0.05, 0.9, 0.05], π_mm) +Λ_mm_prime = experiment([0.7, 0.3], [1/2, 1/2], π_mm) + +print("Λ more informative than Λ':", + garbling(Λ_mm, Λ_mm_prime, π_mm) is not None) +print("Λ' more informative than Λ:", + garbling(Λ_mm_prime, Λ_mm, π_mm) is not None) + +for name, Λ in (("Λ", Λ_mm), ("Λ'", Λ_mm_prime)): + q, P = posteriors(Λ, π_mm) + print(f"variance of the posterior under {name}: {q @ (P[0] - 0.5)**2:.4f}") +``` + +$\Lambda$ 的信息量并不比 $\Lambda'$ 更大。 + +凸包条件只比较后验所处的位置，而忽略了它们各自发生的可能性。 + +在 $\Lambda$ 之下，后验通常是 $0.5$，所以其方差为 $0.016$，而在 $\Lambda'$ 之下方差为 $0.04$。 + +保均值展形会提高方差，所以 $\Lambda$ 下后验的分布不可能是 $\Lambda'$ 下后验分布的一种保均值展形。 + +真正排除这种可能性的，是 $J$ 必须具有边际分布 $q$ 这一要求。 + +要将后验 $0.7$ 表示为 $0.9$、$0.5$、$0.1$ 的一种平均，至少一半的权重必须放在 $0.9$ 上，所以 $J$ 就必须将至少 $1/4$ 的概率赋予后验 $0.9$，而 $\Lambda$ 产生这一后验的概率只有 $0.05$。 + +$\Lambda'$ 的信息量也不比 $\Lambda$ 更大：$\Lambda$ 的后验 $0.9$ 和 $0.1$ 位于 $\Lambda'$ 后验的凸包 $[0.3, 0.7]$ 之外。 + +凸包条件是布莱克韦尔序的必要条件，因为信息量较小的实验的每一个后验，都是信息量较大的实验的后验的一种平均，所以此处该条件不成立，`garbling` 也证实了这一点。 + +这两个实验是不可比较的。 + +对于第2部分，我们计算每个实验的歧义度。 + +```{code-cell} ipython3 +def equivocation(Λ, π): + """Expected entropy of the posterior.""" + q, P = posteriors(Λ, π) + logs = np.log(P, where=P > 0, out=np.zeros_like(P)) + return -q @ (P * logs).sum(axis=0) + + +for name, Λ in (("Λ", Λ_mm), ("Λ'", Λ_mm_prime)): + print(f"equivocation of {name}: {equivocation(Λ, π_mm):.4f}") +``` + +$\Lambda'$ 的歧义度更低，但它的信息量并不比 $\Lambda$ 更大。 + +考虑在两种赌局之间做出选择的决策者：一种赌局是在状态 $\theta_1$ 下支付 $1$，在状态 $\theta_2$ 下损失 $x$，另一种是不下注。 + +当后验超过 $x/(1 + x)$ 时，值得下这个赌注。 + +```{code-cell} ipython3 +def bet_utility(x): + """Bet paying 1 in θ_1 and losing x in θ_2, against no bet.""" + return np.array([[1.0, -x], + [0.0, 0.0]]) + + +for x in (4.0, 1.5): + U_bet = bet_utility(x) + print(f"x = {x}: threshold {x / (1 + x):.2f}, " + f"value with Λ {bayes_value(U_bet, Λ_mm, π_mm):.4f}, " + f"with Λ' {bayes_value(U_bet, Λ_mm_prime, π_mm):.4f}") +``` + +一个只在后验超过 $0.8$ 时才下注的谨慎押注者，更看重 $\Lambda$（它有时会给出后验 $0.9$），而从 $\Lambda'$ 中一无所获。 + +一个临界值为 $0.6$ 的更大胆的押注者则偏好 $\Lambda'$。 + +这正是马尔沙克和宫泽所指出的一点：歧义度（不同于信息量）能够为所有实验排序，所以它无法体现信息价值对使用者收益结构的依赖性。 + +{doc}`blackwell_kihlstrom` 用德格鲁特的术语表达了同样的观点：布莱克韦尔序要求不确定性的减少对于每一个凹的不确定性函数都更大，而不仅仅是对熵而言。 + +对于第3部分，假设 $\Lambda$ 具有两种后验 $p_1$ 和 $p_2$ 不同的信号，且 $\Lambda'$ 的每一个后验都位于连接二者的线段上。 + +将 $\Lambda'$ 的每一个后验 $p'_{n'}$ 写成 $p_1$ 和 $p_2$ 的一种混合，并根据混合权重来拆分信号 $y'_{n'}$。 + +这就给出了一个列和为 $q'$ 并满足 {eq}`it_barycenter` 的联合分布 $J$。 + +它的行和将概率赋予 $p_1$ 和 $p_2$，二者的平均为 $\sum_{n'} q'_{n'} p'_{n'} = \pi$。 + +在两个不同的点上，只有一个分布的均值为 $\pi$，所以这些行和就是 $q$，因此 $\Lambda$ 的信息量比 $\Lambda'$ 更大。 + +要求 $J$ 的行和等于 $q$——这一条件在第1部分中未能成立——对于任意数量的状态都是自动成立的。 + +我们通过随机抽取 $\Lambda'$ 以及一个后验能够包夹住 $\Lambda'$ 后验的两信号 $\Lambda$ 来检验这一点。 + +```{code-cell} ipython3 +rng = np.random.default_rng(2468) + +found = [] +for _ in range(500): + N_prime = rng.integers(2, 6) + post = rng.uniform(0.05, 0.95, N_prime) + probs = rng.dirichlet(np.ones(N_prime)) + π = np.array([probs @ post, 1 - probs @ post]) + lo = rng.uniform(0, post.min()) + hi = rng.uniform(post.max(), 1) + w_hi = (π[0] - lo) / (hi - lo) + Λ_binary = experiment([hi, lo], [w_hi, 1 - w_hi], π) + Λ_other = experiment(post, probs, π) + found.append(garbling(Λ_binary, Λ_other, π) is not None) +print("garbling found in every draw:", all(found)) +``` + +{prf:ref}`it_thm_binary` 的证明通过两个事实用到了信息序：$\Lambda'$ 的后验位于连接 $\Lambda$ 后验的线段上，以及存在一个满足 {eq}`it_barycenter` 的联合分布 $J$。 + +当 $\Lambda$ 具有两种信号时，上面的论证表明第一个事实蕴含了第二个事实，所以此时布莱克韦尔序就成了一个关于后验所处位置的条件，而非关于它们发生可能性的条件。 + +```{solution-end} +``` \ No newline at end of file diff --git a/lectures/lucas_prescott_search.md b/lectures/lucas_prescott_search.md new file mode 100644 index 00000000..fb941890 --- /dev/null +++ b/lectures/lucas_prescott_search.md @@ -0,0 +1,1967 @@ +--- +jupytext: + text_representation: + extension: .md + format_name: myst + format_version: 0.13 + jupytext_version: 1.17.1 +kernelspec: + display_name: Python 3 (ipykernel) + language: python + name: python3 +translation: + title: 均衡搜寻与失业 + headings: + Overview: 概述 + The economy: 经济体 + The economy::Timing: 时序 + The economy::The value of search: 搜寻的价值 + A worker's problem: 工人的问题 + Employment, wages, and two thresholds: 就业、工资与两个阈值 + Employment, wages, and two thresholds::How many work: 多少人工作 + Employment, wages, and two thresholds::How many arrive: 多少人到来 + Employment, wages, and two thresholds::Three regions, one transition law: 三个区域，一条运动规律 + A computable version: 一个可计算版本 + Economy-wide equilibrium: 经济体层面的均衡 + Learning the value of search: 学习搜寻的价值 + Inside the equilibrium: 深入均衡内部 + Inside the equilibrium::What a market looks like: 一个市场看起来是什么样子 + Inside the equilibrium::The workforce distribution and a sample path: 劳动力分布与一条样本路径 + Inside the equilibrium::Where markets sit: 市场所处的位置 + Inside the equilibrium::The wage distribution: 工资分布 + Efficiency: 效率 + Efficiency::Surplus: 剩余 + Efficiency::A planner for one market: 单个市场的计划者 + Efficiency::What the theorem says, and what it does not: 这个定理说了什么，又没说什么 + Relation to other lectures: 与其他讲座的关系 + Relation to other lectures::What the island model became: 孤岛模型演变成了什么 + Relation to other lectures::Returns to labor mobility: 劳动力流动性的回报 + Exercises: 练习 +--- + +(lucas_prescott_search)= +```{raw} jupyter + +``` + +# 均衡搜寻与失业 + +```{contents} Contents +:depth: 2 +``` + +除了Anaconda中已有的库之外，本讲座还需要以下库： + +```{code-cell} ipython3 +--- +tags: [hide-output] +--- +!pip install quantecon +``` + +## 概述 + +本讲座研究 {cite:t}`LucasPrescott1974`，这是我们在 {doc}`lucas_prescott_investment` 中研究过的投资论文在劳动力市场方面的姊妹篇。 + +这两篇论文由同一批作者在同一地点、相隔几年内写就，并使用了相同的工具：通过逐次近似求解的贝尔曼方程、布莱克韦尔定理，以及一个其不变分布描述长期行为的马尔可夫过程。 + +变化的是问题本身。 + +卢卡斯和普雷斯科特的研究目标是 {cite:t}`friedman1968role` 和 {cite:t}`Phelps1967` 提出的自然失业率。 + +用他们自己的话说，讨论自然失业率时所用的语言"暗示它可能具有竞争均衡的性质"，然而 + +> *并不存在任何理论模型，能够确定出一个非零的均衡失业率并研究其性质。* + +没有这样一个模型，就没有一个框架来提出失业所引发的福利问题，也无法解释为什么各国的平均失业率差异如此之大。 + +20世纪60年代的搜寻文献无法提供这样的模型。 + +{doc}`mccall_model` 描述了那一文献的核心问题：工人从一个已知的分布中抽取工资要约，并决定何时停止搜寻。 + +这是一个关于个体的模型，它将工资分布视为给定的。 + +卢卡斯和普雷斯科特认为，他们所关心的问题无法以这种方式回答： + +> *最优劳动供给行为及其所依据的工资分布，必须在一个市场行为（而非个体行为）模型中同时确定。* + +他们构建了一个由许多空间上分离的市场组成的经济体，每个市场都有其自身随机波动的劳动需求。 + +这一图景来自埃德蒙·费尔普斯的"孤岛经济"，他们称之为"本模型的直接前身" {cite}`PhelpsEtAl1970`。 + +它不同于 {cite:t}`LucasNeutrality1972` 中的孤岛模型，在那里就业随总需求波动，但失业作为一种活动并未与闲暇区分开来。 + +而在这里，两者是有区分的。 + +一个市场中的工人可以在出清该市场的工资水平下工作，也可以离开。 + +离开意味着本期什么也得不到，下期会出现在别的地方，所以*失业就是工人在市场间移动的行为*。 + +一切都是竞争性的，每个人都在优化，并且预期是 {cite:t}`muth1961` 以及投资论文 {cite:t}`Lucas_Prescott_1971` 意义上的理性预期：工人用来评估自身前景的分布，正是由他们自己的决策所生成的分布。 + +这篇论文的核心对象是一个单一的数字 $\lambda$，即搜寻的预期现值。 + +单个市场将 $\lambda$ 视为给定，就像一个竞争性企业将价格视为给定一样。 + +就整个经济而言，$\lambda$ 不断调整，直到各市场想要保留的劳动力总量等于经济体实际拥有的劳动力总量。 + +在论文的均衡中，总有一些市场的工人数超过它们想要雇用的数量，所以每一期失业率都为正；{ref}`lps_regions` 解释了我们所使用的可计算版本在何种情况下保持这一性质。 + +卢卡斯和普雷斯科特还论证说，这种失业未必意味着一种低效率。 + +```{note} +该模型中不存在拥挤外部性，也没有匹配函数、没有议价、也没有工资粘性：失业的存在是因为移动需要一期时间，而在均衡中总有人在移动。 + +那个使同伴拥挤的搜寻工人，其所做的事情与任何商品卖方使其他卖方拥挤的情形是一样的，而 $\lambda$ 就像任何其他均衡价格一样，传递的是论文所称的"额外搜寻者的正确社会回报"。 + +这篇论文没有证明任何福利定理，它也没有判定实际的劳动力市场是否具有重要的外部效应。 + +{ref}`lps_efficiency` 表明，在该模型内部，这一论断可以被精确地证明：当移动需要一期时间时，平稳均衡使从其自身的工人分布中所能获得的剩余的预期现值最大化，而 $\lambda$ 正是加入搜寻者队伍中的一名工人的现值。 +``` + +本讲座首先阐述理论：工人的问题、描述一个市场的两个阈值，以及市场劳动力的运动规律。然后计算一个示例，通过求解均衡 $\lambda$ 使经济封闭，并探讨工人如何才能学习到这个值。 + +在深入考察均衡内部——市场、劳动力和工资——之后，本讲座证明了效率的论断，并将该模型与其后续发展联系起来。练习部分涉及论文自身的比较静态分析、一项移动成本、论文自身的两状态例子、非定向搜寻、菲利普斯曲线，以及效率的数值检验。 + +让我们先导入一些库： + +```{code-cell} ipython3 +import warnings +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +import quantecon as qe +from collections import namedtuple +from scipy.optimize import brentq +``` + +## 经济体 + +存在许多市场，每个市场都有其自身的需求状态。 + +需求冲击在*各市场之间是相互独立的*，因此总需求是不变的；但在一个市场*内部具有持续性*，因此今天的需求能够告诉工人一些关于明天需求的信息。 + +在每个市场中，一个竞争性行业以劳动力作为唯一投入生产单一商品。 + +如果 $p = D(s, Q)$ 是需求状态 $s$ 下的逆需求曲线，而 $q(n)$ 是 $m$ 家相同企业中每一家的生产函数，那么利润最大化就使工资等于劳动的边际价值产品，而函数 + +```{math} +:label: lps_R +R(s, n) = D\big(s, m\,q(n)\big)\, q'(n) +``` + +概括了该劳动力市场需求方的全部信息。 + +卢卡斯和普雷斯科特舍弃了 $D$ 和 $q$，直接对 $R$ 施加假设：$R$ 为正、有界且可微，且满足 + +$$ +R_s(s,n) > 0, \qquad R_n(s,n) < 0 . +$$ + +需求状态 $s$ 服从一个具有转移密度 $f(s', s)$ 的马尔可夫过程，该过程拥有唯一的平稳分布。 + +其条件分布函数 $F(s', s)$ 关于 $s$ 是递减的，因此今天较高的需求使明天出现较高需求的可能性更大。 + +### 时序 + +一个市场在期初拥有一个**劳动力**（workforce）$y$，这是该市场能够雇用的最大数量。 + +然后，在该期内： + +1. 需求 $s$ 实现，劳动力市场出清，在工资 $w = R(s, n)$ 下雇用 $n \le y$ 名工人； +1. 未被雇用的 $y - n$ 名工人本期一无所获，加入搜寻者队伍； +1. 被雇用的工人留在该市场进入下一期；搜寻者被分配到各个市场，并在下一期到达。 + +所以每次移动时，一名工人*恰好失业一期*，失业者就是正在转移中的工人。 + +### 搜寻的价值 + +由于各市场间的需求冲击相互独立，且市场数量众多，一旦经济体内工人在各市场间的分布稳定下来，它就是恒定的，尽管每个市场自身的劳动力数量会有波动。 + +因此，一名搜寻者的前景并不取决于他正在离开的那个市场，搜寻的预期现值是一个单一的数字 $\lambda$。 + +搜寻者被分配到各个市场的方式使到达的预期价值*相等*，因此没有任何市场会给予到达的工人高于 $\lambda$ 的价值。 + +目前我们先将 $\lambda$ 视为给定，并在 {ref}`lps_economy_wide` 中确定它。 + +## 工人的问题 + +设 $v(s, y, \lambda)$ 为一名工人在期初身处需求为 $s$、劳动力为 $y$ 的市场中时，其收入的预期现值，并设 $\beta \in (0,1)$ 为贴现因子。 + +卢卡斯和普雷斯科特通过考虑三种情形，得到了 $v$ 的一个函数方程。 + +**情形A：部分工人离开。** 离开的工人得到 $\lambda$。留下的工人得到的不会更多，因为离开者本可以留下；也不会更少，因为留下者本可以离开。所以 $v = \lambda$。 + +**情形B1：所有工人留下，且没有新工人到达。** 当前就业为 $y$，工资为 $R(s,y)$，下一期的劳动力仍为 $y$： + +$$ +v(s,y,\lambda) = R(s,y) + \beta \int v(s', y, \lambda) f(s', s)\,ds' . +$$ + +**情形B2：所有工人留下，且有新工人到达。** 到达的工人是搜寻者，所以下一期身处该市场的贴现预期价值 $\beta \int v f\, ds'$ 必须恰好等于 $\lambda$，即促使他们前来搜寻的价值： + +$$ +v(s,y,\lambda) = R(s,y) + \lambda . +$$ + +当劳动力不变时的贴现延续值低于 $\lambda$ 时，没有人到达，适用情形B1；当其超过 $\lambda$ 时，到达者将其拉低至 $\lambda$，适用情形B2。 + +无论哪种情况，延续值都是 $\lambda$ 与 $\beta \int v(s', y, \lambda) f(s', s)\, ds'$ 二者中较小的那个，这就是下面的 $\min$ 运算。 + +情形A适用于即使如此工人所得仍少于 $\lambda$ 的情况，此时他就选择 $\lambda$，这就是 $\max$ 运算。 + +这三种情形合并为一个方程： + +```{math} +:label: lps_bellman +v(s, y, \lambda) = \max\left\{\lambda,\; +R(s,y) + \min\left[\lambda,\; +\beta \int v(s', y, \lambda) f(s', s)\, ds' \right]\right\} . +``` + +这两个算子承担不同的职能。*max* 是工人自己的选择权：他总是可以离开并获得 $\lambda$。 + +*min* 则完全不是工人的选择。它是竞争在搜寻者之间施加的一种限制：如果该市场的延续值超过 $\lambda$，搜寻者就会不断涌入，直到它不再超过为止。 + +```{prf:proposition} +:label: lps_prop_v + +对任意 $\lambda$，方程 {eq}`lps_bellman` 有唯一的有界连续解 $v$，并且从任意起点出发的逐次近似都收敛于该解。 + +该解关于 $s$ 和 $\lambda$ 是非递减的，关于 $y$ 是非递增的。 +``` + +{prf:ref}`lps_prop_v` 的证明与 {doc}`lucas_prescott_investment` 全文所用的证明相同：由 {eq}`lps_bellman` 右边所定义的算子是单调的，并满足一个贴现条件，因此布莱克韦尔定理 {cite}`Blackwell1965` 适用。 + +关于 $s$ 的单调性正是用到了 $F(s', s)$ 关于 $s$ 递减这一假设之处。一名工人所处的市场越拥挤，他的状况就越差，因为更大的劳动力意味着更低的边际产量和更低的工资，这正是 $v$ 关于 $y$ 非递增的原因。 + +## 就业、工资与两个阈值 + +有了 $v$，市场行为的其余部分就由两条阈值规则得出。 + +### 多少人工作 + +设 $\bar n(s, \lambda)$ 为这样的就业水平：在该水平下，边际工人恰好在留下与搜寻之间无差异： + +```{math} +:label: lps_nbar +R(s, \bar n) + \beta \int v(s', \bar n, \lambda) f(s', s)\, ds' = \lambda . +``` + +左边是当就业和下一期劳动力均为 $\bar n$ 时，一名工人留下所获得的值：本期工资加上贴现的延续值。它关于 $\bar n$ 是非递增的。 + +如果边际收益在某个劳动力水平处降为零——正如下面可计算版本所呈现的那样——那么身处那个拥挤市场的价值已降至 $\lambda$，左边就平稳地停在 $\beta \lambda < \lambda$ 处，而 {eq}`lps_nbar` 在此处无法成立。 + +在整数劳动力网格上，{eq}`lps_nbar` 很少精确成立，就业就是使左边至少等于 $\lambda$ 的最大 $\bar n$。 + +于是就业为 + +```{math} +:label: lps_employment +n(s, y, \lambda) = \min\{\bar n(s,\lambda),\; y\}, +\qquad w = R(s, n) , +``` + +该市场中的失业为 $y - n$，当劳动力超过 $\bar n$ 时该值为正。 + +### 多少人到来 + +只有当一个市场雇用了它的全部劳动力，且延续值仍超过 $\lambda$ 时，该市场才会吸引搜寻者。 + +设 $\bar y(s,\lambda)$ 为使这一情况不再成立的劳动力水平： + +```{math} +:label: lps_ybar +\beta \int v(s', \bar y, \lambda) f(s', s)\, ds' = \lambda . +``` + +到来者会把市场填充到 $\bar y(s, \lambda)$，不会更多。注意 $\bar y \le \bar n$，因为 $R \ge 0$ 意味着任何仅凭延续值就能达到 $\lambda$ 的劳动力水平，一旦加上工资，也同样能达到 $\lambda$。 + +在边际产量为正的地方，这个不等式是严格的：一个对搜寻者而言刚好值得进入的市场，严格地处于所有人都工作的那个区间之内。 + +在下文标定中的最差需求状态下，这两个阈值在均衡的 $\lambda$ 值处都为零，该市场不雇用任何人，也不吸引任何人。 + +(lps_regions)= +### 三个区域，一条运动规律 + +{eq}`lps_employment` 和 {eq}`lps_ybar` 共同将 $(s,y)$ 平面划分为论文图3中的三个区域： + +* 区域I，其中 $y > \bar n(s, \lambda)$，市场把工人裁减到 $\bar n(s,\lambda)$； +* 区域II，介于两个阈值之间，没有人移动； +* 区域III，其中 $y < \bar y(s, \lambda)$，市场被填充到 $\bar y(s,\lambda)$。 + +它们使劳动力的运动规律呈现出非常简单的形式： + +```{math} +:label: lps_transition +y' = \min\big\{\max\{y,\ \bar y(s,\lambda)\},\ \bar n(s,\lambda)\big\} . +``` + +贝尔曼方程在*不变的*劳动力 $y$ 处评估延续值，而运动规律则把劳动力移到别处。 + +这并不矛盾，因为 $\max$ 和 $\min$ 已经处理了劳动力发生移动的那两种情形。 + +当有到来者时，$\min$ 把延续值替换为 $\lambda$，而一个被填充到 $\bar y$ 的市场对其中任何人来说至少值 $\lambda$：在连续劳动力情形下恰好为 $\lambda$，在下文所用的整数网格上可能略高一些。当工人离开时，$\max$ 把整个表达式替换为 $\lambda$。 + +因此，不变 $y$ 处的延续值仅在劳动力确实不变的那个区域内被用到。 + +```{note} +论文让到来者的数量是随机的：一个劳动力不足的市场会收到 $a(s,y,\lambda)\,x$ 名工人，其中 $x$ 是一个均值为一的正随机变量，因此搜寻必须"平均而言消除租金"，而非精确消除。 + +和论文附录中的数值例子一样，我们令 $x \equiv 1$，这就得到了 {eq}`lps_transition`。 + +在论文中，随机到来使平稳分布具有严格为正的密度（其命题3），因此总有某个市场在裁减工人，失业在每一期都为正。 + +当 $x \equiv 1$、需求状态数量有限，且需求过程可以在一期内从任意一个状态转移到任意另一个状态时，会有三种情形。 + +* 如果 $\max_s \bar y(s) > \min_s \bar n(s)$，平稳分布是唯一的，失业为正：在 $\bar y$ 最高的状态下被填满的市场，在需求降至 $\bar n$ 最低的状态时会裁减工人，这两期会使一个市场从任何起始劳动力到达 $\min_s \bar n(s)$。 +* 如果 $\max_s \bar y(s) = \min_s \bar n(s)$，平稳分布同样是唯一的，每个市场都保有这个劳动力水平，失业为零。 +* 如果 $\max_s \bar y(s) < \min_s \bar n(s)$，任何介于两者之间的劳动力在每个需求状态下都原地不动，因此存在一个平稳分布的连续统，失业为零。 + +{ref}`lps_ex_persistence` 遇到了第三类经济体。 +``` + +## 一个可计算版本 + +我们遵循 {cite:t}`LucasPrescott1974` 的附录：有限多个需求状态、整数劳动力，并对 {eq}`lps_bellman` 进行价值函数迭代。 + +对于需求过程，我们使用论文脚注7中的例子，其中 $\log s$ 服从一个持续性介于零和一之间的AR(1)过程。 + +我们用鲁文霍斯特（Rouwenhorst）方法将其离散化为七个状态。 + +与 {cite:t}`Tauchen1986` 的方法不同，它即使在持续性很高时也能精确匹配 $\log s$ 的持续性和平稳方差；{ref}`lps_ex_persistence` 的解答展示了若不这样做会出什么问题。 + +对于 $R$，我们取一个随就业线性下降、并在容量 $N$ 处降为零的边际收益函数， + +$$ +R(s, n) = s\,\big(1 - n/N\big)^{+} . +$$ + +在两个需求状态、$N = 100$ 的情形下，这就是论文例1中的函数，其图形绘制在论文图5的左上方，并按比例放大了两倍。 + +容量设定是对理论假设（即 $R$ 处处为正）的一种偏离，但这正是论文自身的例子所采用的做法。它把一个市场永远想要的劳动力上限限制在 $N$ 以下，所以论文承诺对每个每市场劳动力水平都存在均衡的命题5，在此处仅对低于该上限的劳动力水平成立。 + +它也塑造了当工人充裕时失业如何变化，我们将在下文看到这一点。 + +$R$ 下降得多陡，决定了需求变动时就业变动的幅度，从而决定了把一名工人从一个市场送到另一个市场能获得多大收益；{ref}`lps_ex_two_states` 就讨论了这一点。 + +函数 `make_model` 可以从任意需求链和边际收益函数构建一个市场，`create_model` 则用它来构建本讲座的经济体。 + +```{code-cell} ipython3 +Model = namedtuple('Model', ['P', 's', 'y', 'R', 'β']) + +def linear_R(s, y, N=200): + "Marginal revenue s (1 - n/N)^+, which reaches zero at the capacity N." + return s[:, None]*np.maximum(1 - y[None, :]/N, 0.0) + +def make_model(P, s, β=0.9, y_max=260, R=linear_R, **R_args): + "A market with demand chain (P, s) and marginal revenue R on y = 0, ..., y_max." + y = np.arange(y_max + 1) + R_sy = R(s, y, **R_args) + R_sy[:, 0] = 0.0 # an empty market pays nothing + return Model(P=P, s=s, y=y, R=R_sy, β=β) + +def create_model(n_s=7, ρ=0.9, sd=0.26, β=0.9, N=200, y_max=260, + method='rouwenhorst'): + """The island economy, with log demand an AR(1) discretized into n_s states. + + ρ and sd are the persistence and the stationary standard deviation of + log demand, so that changing ρ alone does not change how variable + demand is. N is a market's capacity: marginal revenue reaches zero there. + """ + σ = sd*np.sqrt(1 - ρ**2) + if method == 'rouwenhorst': + with warnings.catch_warnings(): # quantecon notes a change in its API + warnings.filterwarnings('ignore', message='The API of rouwenhorst', + category=UserWarning) + mc = qe.markov.rouwenhorst(n_s, ρ, σ) + else: + mc = qe.markov.tauchen(n_s, ρ, σ) + return make_model(mc.P, np.exp(mc.state_values), β, y_max, N=N) + +model = create_model() +print("demand states:", model.s.round(3)) +``` + +贝尔曼算子就是 {eq}`lps_bellman`，只是把积分替换成了求和。 + +由于延续值是在不变劳动力处求值，该方程对每个 $y$ 而言都是一个独立的问题，仅在需求状态之间相互关联，这正是为什么求解成本很低，也正是为什么我们对空市场所采用的约定不会影响其他任何部分。 + +我们需要某个搜寻价值才能求解它，所以此处使用 $\lambda = 7.1$，这个值接近 {ref}`lps_economy_wide` 所计算出的均衡值。 + +参数 `c` 是离开成本，在 {ref}`lps_ex_cost` 之前一直为零，它把工人的外部选项从 $\lambda$ 变为 $\lambda - c$。 + +```{code-cell} ipython3 +def worker_value(model, λ, c=0.0, tol=1e-11, max_iter=10_000): + "Solve the worker's functional equation; a worker who leaves collects λ - c." + P, R, β = model.P, model.R, model.β + v = np.full(R.shape, λ - c) + for i in range(max_iter): + v_new = np.maximum(λ - c, R + np.minimum(λ, β*(P @ v))) + v_new[:, 0] = λ - c # an empty market holds no workers + if np.max(np.abs(v_new - v)) < tol: + return v_new, i + v = v_new + raise RuntimeError(f"no convergence in {max_iter} iterations at λ = {λ}") + +v, iters = worker_value(model, 7.1) +print(f"converged in {iters} iterations") +``` + +这两个阈值分别是使相应的值仍不低于 $\lambda$ 的最大就业水平，以及最大劳动力水平。 + +```{code-cell} ipython3 +def last_at_least(A, bar): + "For each row of A, the largest index past 0 at which A ≥ bar, or 0 if none." + return np.array([np.max(np.where(row >= bar)[0]) if (row[1:] >= bar).any() else 0 + for row in A]) + +def thresholds(model, v, λ, c=0.0): + "The employment threshold n̄(s) and the arrival threshold ȳ(s)." + EV = model.β*(model.P @ v) # the continuation at an unchanged workforce + n_bar = last_at_least(model.R + EV, λ - c) # staying on as the marginal worker + y_bar = last_at_least(EV, λ) # ≤ n_bar, because R ≥ 0 and c ≥ 0 + return n_bar, y_bar + +n_bar, y_bar = thresholds(model, v, 7.1) +print("n̄(s) =", n_bar) +print("ȳ(s) =", y_bar) +``` + +就业受 $\bar n$ 的限制，到来者将劳动力填充到 $\bar y$，而 {eq}`lps_transition` 推动劳动力的变化。 + +$(s, y)$ 上这个马尔可夫链的不变分布可以被精确地计算出来。 + +{eq}`lps_transition` 的一期运动要么使劳动力原地不动，要么将其带到某个阈值上，因此从一个阈值出发，该链永远不会离开阈值构成的集合，我们可以求解关于 $(s, t)$ 对的小型链，其中 $t$ 遍历至多 $2 \times 7$ 个阈值。 + +一个处于阈值之外的劳动力水平，只有在它在每个需求状态下都保持不动时，才能在长期内携带正的概率。 + +这样一个劳动力区间的两端本身就是保持不动的阈值，因此阈值上的链在这种情况下会有不止一个不变分布：这就是 {ref}`lps_regions` 中说明的第三种情形。 + +因此我们让 `qe.MarkovChain` 找出这个小型链的每一个不变分布，并在存在不止一个时报错停止，而不是随意选取其中一个。 + +当某个阈值到达工作力网格顶端时，该函数也会停止，因为此时阈值会在没有警告的情况下被截断。 + +```{code-cell} ipython3 +class NotBracketed(ValueError): + "A bisection was given a bracket that does not contain a switch." + +class NotUnique(ValueError): + "The invariant distribution of a market is not unique." + +class GridTooSmall(ValueError): + "A threshold has reached the top of the workforce grid." + +def stationary_distribution(model, n_bar, y_bar): + "The invariant distribution of the chain on (s, y), computed exactly." + P, n_s = model.P, len(model.s) + if n_bar.max() == model.y[-1]: + raise GridTooSmall(f"n̄ reaches the top of the grid, y = {model.y[-1]}") + T = np.unique(np.concatenate([n_bar, y_bar])) # the threshold values + k = len(T) + Q = np.zeros((n_s*k, n_s*k)) # the chain on (s, t), t in T + for i in range(n_s): + t_next = np.searchsorted(T, np.clip(T, y_bar[i], n_bar[i])) + for j in range(k): + Q[i*k + j, t_next[j]::k] = P[i] # to (s', t_next[j]) for every s' + ψ_T = qe.MarkovChain(Q).stationary_distributions + if len(ψ_T) > 1: + raise NotUnique(f"the chain on the thresholds has {len(ψ_T)} recurrent classes") + ψ = np.zeros((n_s, len(model.y))) + ψ[:, T] = ψ_T[0].reshape(n_s, k) + return ψ + +def market_outcomes(model, λ, c=0.0): + "Everything about a market at a given value of search, when leaving costs c." + v, _ = worker_value(model, λ, c) + n_bar, y_bar = thresholds(model, v, λ, c) + ψ = stationary_distribution(model, n_bar, y_bar) + y = model.y[None, :] + n = np.minimum(y, n_bar[:, None]) # employment in each (s, y) + w = np.take_along_axis(model.R, np.maximum(n, 1), axis=1) # and the wage + Φ = np.cumsum(model.R, axis=1) # surplus: see lps_efficiency + employment, wage_bill = (ψ*n).sum(), (ψ*n*w).sum() + return dict(v=v, n_bar=n_bar, y_bar=y_bar, ψ=ψ, n=n, w=w, + workforce=(ψ*y).sum(), employment=employment, + unemployment=(ψ*(y - n)).sum(), + # the mean wage per employed worker; empty markets get no weight + wage=wage_bill/employment if employment > 0 else np.nan, + wage_bill=wage_bill, + surplus=(ψ*np.take_along_axis(Φ, n, axis=1)).sum()) + +out = market_outcomes(model, 7.1) +print(f"workforce {out['workforce']:.2f}, employment {out['employment']:.2f}, " + f"unemployment {out['unemployment']:.2f}") +``` + +这个小型链有 $n_s |T|$ 个状态，其中 $|T| \le 2 n_s$ 是不同阈值的数量，寻找其不变分布的计算量约为 $(n_s |T|)^3$ 次运算。 + +在七个状态的情形下这一计算量可以忽略不计，在25个状态时也仍可承受——此时整个均衡的求解需要一两秒钟——但超过约35个状态之后，计算就会变慢。 + +(lps_economy_wide)= +## 经济体层面的均衡 + +到目前为止，$\lambda$ 一直是一个参数。 + +现在我们让模型封闭起来。 + +该经济体每个市场拥有固定的劳动力 $\mu$。 + +对任意 $\lambda$，上面的计算都给出一个市场需求和劳动力的平稳分布 $\Psi(s, y; \lambda)$，其在我们网格上的概率就是数组 `ψ`。 + +用它对各市场的劳动力取平均，就得到了经济体的**劳动力需求**， + +```{math} +:label: lps_demand +E(y; \lambda) = \int y \, \Psi(ds, dy; \lambda) . +``` + +更高的 $\lambda$ 使每个市场更早裁减工人，且较少被填满，因此 $E(y;\lambda)$ 是递减的。 + +均衡就是使各市场恰好想要保有经济体所拥有的全部工人数量的那个 $\lambda^*$： + +```{math} +:label: lps_equilibrium +E(y; \lambda^*) = \mu . +``` + +由于该函数是递减的，用二分法即可找到 $\lambda^*$。 + +在整数网格上，$E(y; \lambda)$ 是 $\lambda$ 的阶梯函数，每当某个阈值移动一名工人的量时就会跳变，因此 {eq}`lps_equilibrium` 只能在一步之差的范围内成立，下文及练习中打印出的劳动力数值与 $\mu$ 略有出入。 + +`equilibrium_λ` 首先检查 $\mu$ 是否落在区间两端所要求的劳动力之间，若不是，则抛出 `NotBracketed`。 + +```{code-cell} ipython3 +def workforce_demand(model, λ, c=0.0): + "The average workforce per market at the value of search λ." + return market_outcomes(model, λ, c)['workforce'] + +def bisect(test, lo, hi, tol=1e-4, checked=False): + "Locate, to within tol, where a test that fails at lo and passes at hi switches." + if not checked and (test(lo) or not test(hi)): + raise NotBracketed(f"the test does not switch between {lo} and {hi}") + while hi - lo > tol: + mid = 0.5*(lo + hi) + lo, hi = (lo, mid) if test(mid) else (mid, hi) + return hi + +def equilibrium_λ(model, μ, c=0.0, lo=0.01, hi=40.0): + "Bisect on the decreasing demand schedule E(y; λ) = μ." + E_lo, E_hi = workforce_demand(model, lo, c), workforce_demand(model, hi, c) + if not E_lo > μ > E_hi: + raise NotBracketed(f"μ = {μ} is not between E(y; {lo}) = {E_lo:.2f} " + f"and E(y; {hi}) = {E_hi:.2f}") + return bisect(lambda λ: workforce_demand(model, λ, c) <= μ, lo, hi, checked=True) + +μ = 50 # workers per market, against a capacity of 200 +λ_star = equilibrium_λ(model, μ) +eq = market_outcomes(model, λ_star) + +print(f"equilibrium value of search λ* = {λ_star:.3f}") +print(f"workforce per market = {eq['workforce']:.2f} (target {μ})") +print(f"employment per market = {eq['employment']:.2f}") +print(f"unemployment per market = {eq['unemployment']:.2f}") +print(f"unemployment rate = {100*eq['unemployment']/eq['workforce']:.2f}%") +print(f"separation rate = " + f"{100*eq['unemployment']/eq['employment']:.2f}% of the employed per period") +print(f"mean wage = {eq['wage']:.3f}") +``` + +容量限制体现在区间检查当中。 + +即使在 $\lambda = 0.01$ 时，一个市场也最多只想要 $N - 1 = 199$ 名工人，因此一个每市场有200名工人的经济体不存在均衡，`equilibrium_λ` 会说明这一点，而不是返回一个数字。 + +```{code-cell} ipython3 +try: + equilibrium_λ(model, 200) +except NotBracketed as err: + print(err) +``` + +卢卡斯和普雷斯科特把均衡画成一条需求曲线与一条垂直的供给曲线相交，而它正是如此。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: The market for workers, and unemployment along the demand curve + name: fig-lps-equilibrium +--- +grid = np.linspace(0.6, 15.0, 45) +demand = [market_outcomes(model, λ) for λ in grid] +E_y = np.array([d['workforce'] for d in demand]) +E_u = np.array([d['unemployment'] for d in demand]) + +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4)) + +axes[0].plot(E_y, grid, lw=2, label=r'demand $E(y;\lambda)$') +axes[0].axvline(μ, color='C1', lw=2, ls='--', label=r'supply $\mu$') +axes[0].plot(eq['workforce'], λ_star, 'ko', ms=8) +axes[0].set_xlabel('workforce per market') +axes[0].set_ylabel(r'value of search $\lambda$') +axes[0].legend() + +axes[1].plot(E_y, E_u, lw=2) +axes[1].plot(eq['workforce'], eq['unemployment'], 'ko', ms=8) +axes[1].set_xlabel('workforce per market') +axes[1].set_ylabel('unemployment per market') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +左图正是论文中的图4。右图对应论文图5下方两幅图，它们将各市场的平均失业率绘制为 $\lambda$ 的函数；由于 $E(y;\lambda)$ 是递减的，将其改为对劳动力作图所展示的是同一个驼峰，只是被镜像了一下。 + +每个市场的失业人数*并非*随劳动力规模单调变化，这是卢卡斯和普雷斯科特从他们自己的例子中报告的一个特征，而均衡恰好位于该驼峰的顶端附近。 + +当工人充裕时，$\lambda$ 较低，每个市场都被压向其容量上限，每个需求状态下的两个阈值在那里被压缩到一起，因此即使需求发生较大的变动，移动的工人也很少。 + +驼峰的这一侧是容量上限在起作用。 + +当工人稀缺时，$\lambda$ 较高，劳动力规模较小，许多市场完全关闭。那里每个市场的失业人数之所以很少，仅仅是因为每个市场的工人本就很少；作为*比率*来看，它却很高，因为留下来的那些工人身处最好的市场，一旦需求下降，就会被裁减。 + +失业率和空市场的比例都随 $\lambda$ 上升而增加： + +```{code-cell} ipython3 +for λ in (0.6, λ_star, 10.0, 13.0): + r = market_outcomes(model, λ) + print(f"λ = {λ:6.3f}: unemployment rate {100*r['unemployment']/r['workforce']:5.2f}%," + f" markets with no workers {100*r['ψ'][:, 0].sum():5.1f}%") +``` + +(lps_learning)= +## 学习搜寻的价值 + +卢卡斯和普雷斯科特用论文的一节讨论了一个均衡本身并未回答的问题：我们一直假设工人知道 $\lambda$，但没有说明他们是如何得知这一点的。 + +他们写道，归根结底这"是一个心理学理论而非经济学理论所应回答的问题，因此我们在此处以一种临时的'适应性'方式来提出这个问题，并不为此道歉"。 + +他们还解释了这个问题之所以是可以处理的原因。工人必须学习的分布 $\Psi$ 取决于他们自身的行为，因此随着他们看法的变化，他们所学习的对象本身也在变化，这"一般而言可能带来难以克服的分析困难"。 + +而在此处却不是这样，"因为 $\Psi$ 中与工人决策相关的唯一特征就是参数 $\lambda$"。这正是 {doc}`ls_learning` 中那种自我指涉的结构，被压缩成了单单一个数字。 + +他们给出的答案是一个适应性的故事。假设工人相信搜寻的价值比实际更高；那么离开各自市场的人数就会超过以该回报率能够被安置的人数。 + +在论文中，超额的搜寻者是通过让到达变量 $x$ 的均值上升来安置的，因此接收市场得到的工人数超出了它们的预期，搜寻者和留下者对他们所预期的工资都感到失望。于是他们把该数字向下修正。 + +将 $g$ 记为一个在零点取零值的递减函数，则 + +$$ +\frac{d\lambda}{dt} = g(\lambda - \lambda^{*}) . +$$ + +稳定性内置于 $g$ 所假设的符号之中，而使这一符号成立的依据正是需求函数向下倾斜这一事实：当 $\lambda$ 过高时，市场想要的工人数少于经济体所拥有的数量。`equilibrium_λ` 依赖于同一事实：它将根括在一个区间内，而不是遵循论文的调整方式，但两者都是因为 $E(y;\lambda)$ 是递减的才能生效。 + +这个故事可以用离散时间来表述：工人持有一个信念 $\lambda_k$，各市场据此行动，然后该信念朝着对工人的超额需求的方向被修正， + +```{math} +:label: lps_tatonnement +\lambda_{k+1} = \lambda_k + \gamma\, \big(E(y; \lambda_k) - \mu\big) . +``` + +这就是瓦尔拉斯式的试探过程（tâtonnement），其中 $\lambda$ 扮演价格的角色，而 $E(y;\lambda) - \mu$ 扮演超额需求的角色。它具有 {doc}`bounded_rationality` 中松弛算法 {eq}`relaxation` 的形式，应用于 $T(\lambda) = \lambda + E(y;\lambda) - \mu$，并具有E-稳定性的符号结构：$\lambda^*$ 是稳定的，因为 $E(y;\lambda)$ 向下倾斜。 + +这个类比仅仅是形式上的，因为 $T$ 把若干工人数加到一个现值上，并不是一个从感知值映射到 $\lambda$ 实际值的映射。 + +在 $\lambda^*$ 附近，误差 $\lambda_k - \lambda^*$ 每一步都乘以 $1 + \gamma E'(\lambda^*)$，其中 $E'$ 是该函数的斜率。因此当 $0 < \gamma < 2/|E'(\lambda^*)|$ 时该迭代收敛，而当 $\gamma < 1/|E'(\lambda^*)|$ 时收敛且不发生超调。 + +由于 $E(y;\lambda)$ 在整数网格上是阶梯函数，我们用一个跨越足够多步的中心差分来估计其斜率。 + +```{code-cell} ipython3 +h = 0.5 +slope = (workforce_demand(model, λ_star + h) - workforce_demand(model, λ_star - h))/(2*h) +print(f"slope of E(y; λ) near λ*: {slope:.1f}") +print(f"monotone convergence for γ < {1/abs(slope):.3f}, " + f"convergence for γ < {2/abs(slope):.3f}") + +def learn_λ(model, μ, γ, λ_0=10.0, n=40): + "Revise the belief about λ in the direction of the excess demand for workers." + path = [λ_0] + for _ in range(n): + path.append(path[-1] + γ*(workforce_demand(model, path[-1]) - μ)) + return np.array(path) + +paths = {γ: learn_λ(model, μ, γ) for γ in (0.01, 0.05, 0.12)} +``` + +下面给出三种增益系数，其中两个低于该界限，一个高于该界限。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Learning the value of search with gains below and above the bound + name: fig-lps-learning +--- +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4), sharey=True) +for ax, gains in zip(axes, ((0.01, 0.05), (0.12,))): + for γ in gains: + ax.plot(paths[γ], lw=2, label=fr'$\gamma = {γ}$') + ax.axhline(λ_star, color='k', lw=0.8, ls='--', label=r'$\lambda^*$') + ax.set_xlabel('iteration $k$') + ax.legend(loc='upper right', framealpha=1) +axes[0].set_ylabel(r'belief $\lambda_k$') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +当 $\gamma = 0.01$ 时，信念慢慢地向 $\lambda^*$ 靠拢；当 $\gamma = 0.05$（接近 $1/|E'|$）时，它在几步之内就到达了。 + +当 $\gamma = 0.12$，超过了该界限时，它不再收敛：它在一个高值和一个低值之间来回跳动，那里函数的斜率不同，超调不再增大。 + +这些界限的单位是每名工人的价值：如果每个市场的规模都翻倍，$E'$ 也会翻倍，稳定增益的范围就会减半。 + +卢卡斯和普雷斯科特小心地补充说，这种稳定性"与对经常反复出现的冲击的动态反应毫无关系"，这正是学习一个均衡与在一个均衡内部作出反应之间的区别。{doc}`ls_learning` 研究了当主体根据数据用最小二乘法估计，而不是精确计算 $E(y;\lambda)$ 时会发生什么变化。 + +## 深入均衡内部 + +现在我们深入均衡内部：看单个市场、劳动力的分布，以及相同的工人所获得的工资。 + +### 一个市场看起来是什么样子 + +这两个阈值描述了一个市场行为的全部内容。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: The two thresholds at the equilibrium, and the locus of employment and wages as demand shifts + name: fig-lps-thresholds +--- +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4)) + +axes[0].plot(model.s, eq['n_bar'], 'o-', lw=2, label=r'$\bar n(s)$: employment') +axes[0].plot(model.s, eq['y_bar'], 's--', lw=2, label=r'$\bar y(s)$: arrivals fill to') +axes[0].set_xlabel('demand state $s$') +axes[0].set_ylabel('workers') +axes[0].legend() + +employs = eq['n_bar'] > 0 # a state with n̄(s) = 0 employs nobody +wage_at_nbar = model.R[np.arange(len(model.s)), eq['n_bar']] +axes[1].plot(eq['n_bar'][employs], wage_at_nbar[employs], 'o-', lw=2) +axes[1].set_xlabel(r'employment $\bar n(s)$') +axes[1].set_ylabel('wage') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +右图就是卢卡斯和普雷斯科特所称的 $SS$ 曲线，它是在一个市场的劳动力从未对其构成约束的情况下，随需求变动所描绘出的就业和工资的点对序列。 + +它略去了 $\bar n(s) = 0$ 的那些需求状态，在那些状态下市场不雇用任何人，也不支付任何工资。 + +这条曲线*并非平坦的*。一条平坦的 $SS$ 曲线意味着工人拥有单一的保留工资，高于它就接受工作、低于它就继续搜寻——这正是 {doc}`mccall_model` 中局部均衡搜寻模型所*推导*出的结果。 + +在 $\bar n(s)$ 处，工资恰好使留下来的价值等于 $\lambda$，即在整数网格精度下 $w = \lambda - \beta \int v(s', \bar n, \lambda) f(s', s)\, ds'$，因此它与延续值的变动方向相反。 + +需求的下降以两种相互对立的方式改变延续值： + +1. 今天较低的需求使明天出现较低需求的可能性更大，这使留下的价值降低； +1. 今天较低的就业意味着明天劳动力规模较小，这使留下的价值提高。 + +第一种效应存在于具有持续性要约的局部均衡模型中，比如 {doc}`mccall_persist_trans`，其中保留工资取决于状态。 + +第二种效应来自其他工人的决策，只有均衡模型才具有这种效应。二者中任何一个都可能占主导，因此 $SS$ 曲线可以朝任何一个方向倾斜。 + +在这个标定中，它向上倾斜——除去在市场几乎从不会访问到的高需求状态中、在更精细的网格上出现的一些小波动——所以是第二种效应占主导：需求下降之后，较小市场中的延续值更高，而维持其边际工人所需的工资更低。 + +均衡也直接显示出保留工资的缺失。 + +```{code-cell} ipython3 +ψ, n, w = eq['ψ'], eq['n'], eq['w'] +sheds = model.y[None, :] > eq['n_bar'][:, None] # region I: workers leave +occurs = (ψ > 1e-12) & (n > 0) # markets that occur and employ + +print(f"lowest wage in a market that nobody leaves: {w[occurs & ~sheds].min():.3f}") +print(f"highest wage in a market that workers leave: {w[occurs & sheds].max():.3f}") +``` + +工人留下来、没有人离开的市场工资可以低至第一个数字，而工人离开的市场工资却更高——是第二个数字——因此没有哪个分界线能够把工人接受的市场与他们离开的市场区分开来。 + +但离开者并非是拒绝了一个要约、以换取更好的东西，也没有人把他们拒之门外。在 $\bar n(s)$ 处，该市场中的每个工人，无论是留下者还是离开者，都得到 $\lambda$；离开者本可以留下，但那样一来就业就会是全部劳动力 $y$，工资就会降到 $R(s, y)$，留下来的价值就会低于 $\lambda$。 + +所以没有要约是相对于一个分界工资被拒绝的，也没有人在现行工资下被拒之门外：这里的边际是市场的就业水平。 + +### 劳动力分布与一条样本路径 + +由于到来者数量是确定性的，且需求只取有限多个值，劳动力在少数几个值之间移动，每一个都是某个需求状态下的阈值。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: The invariant distribution of the workforce, and one market over sixty periods + name: fig-lps-distribution +--- +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4)) + +ψ_y = eq['ψ'].sum(axis=0) # the distribution of the workforce +on_support = ψ_y > 1e-10 +axes[0].stem(model.y[on_support], ψ_y[on_support], basefmt=' ') +axes[0].set_xlabel('workforce $y$') +axes[0].set_ylabel('probability') + +T_path = 60 +idx = qe.MarkovChain(model.P).simulate_indices(T_path, init=3, random_state=0) +path_y = np.empty(T_path, dtype=int) +path_y[0] = eq['n_bar'][idx[0]] +for t in range(T_path - 1): + path_y[t+1] = np.clip(path_y[t], eq['y_bar'][idx[t]], eq['n_bar'][idx[t]]) +path_n = np.minimum(path_y, eq['n_bar'][idx]) + +periods = np.arange(T_path) +axes[1].plot(periods, path_y, lw=2, drawstyle='steps-post', label='workforce') +axes[1].plot(periods, path_n, lw=2, ls='--', drawstyle='steps-post', label='employment') +axes[1].fill_between(periods, path_n, path_y, step='post', alpha=0.3, label='unemployed') +axes[1].set_xlabel('period') +axes[1].set_ylabel('workers') +axes[1].legend() +plt.tight_layout() +plt.show() + +print(f"on this path demand falls {np.sum(idx[1:] < idx[:-1])} times, " + f"and the market sheds workers in {np.sum(path_n < path_y)} periods") +``` + +右图在一幅图中展示了该模型的机制：只要需求不发生变动，市场就处于静止状态。 + +当需求下降幅度足够大、以致 $\bar n(s)$ 降到劳动力水平以下时，两条线之间就会出现缺口，并且仅在那一期出现：那一期的离开者就是失业者，到了下一期他们已身处别处。 + +较小幅度的需求下降未必会打开这个缺口：一个此前只被填充到 $\bar y(s)$ 的市场，可以吸收一次需求下降，只要下降后状态的 $\bar n$ 仍高于其劳动力水平，而打印出的计数显示了这种情况在这条路径上发生的频率。 + +### 市场所处的位置 + +{eq}`lps_transition` 中的三个区域构成了状态空间的一个划分，因此不变分布说明了经济体各部分分别处于哪个区域。 + +```{code-cell} ipython3 +def where_markets_sit(model, r): + "Shares of markets in each region, and how often a market's demand stays put." + y = model.y[None, :] + sheds, fills = y > r['n_bar'][:, None], y < r['y_bar'][:, None] + ψ, still = r['ψ'], ~sheds & ~fills + return {'shedding workers': ψ[sheds].sum(), 'receiving workers': ψ[fills].sum(), + 'neither': ψ[still].sum(), 'with no workers': ψ[:, 0].sum(), + 'still, among the empty': ψ[still[:, 0], 0].sum()/ψ[:, 0].sum(), + 'demand stays put': ψ.sum(axis=1) @ np.diag(model.P)} + +for name, share in where_markets_sit(model, eq).items(): + print(f"{name:>24}: {100*share:5.1f}%") +``` + +在任何给定一期中，大多数市场完全处于静止状态。有几个百分点在裁减工人，经济体全部的失业都来自这些市场；差不多同样多的市场正在吸纳工人。 + +必须保持平衡的是工人的流量，而它确实保持平衡：离开裁员市场的工人恰好等于到达吸纳市场的工人，正如 {ref}`lps_ex_undirected` 所验证的那样。 + +第四行统计了完全没有工人的市场，第五行显示其中大多数都处于静止状态。 + +这样一个市场是在需求降到 $\bar n(s) = 0$ 的某个状态时空出来的，并在需求过低、使 $\bar y(s)$ 无法为正时保持空置；其余的则因为需求已经恢复而正在被重新填充。 + +这些比例取决于离散化方式。用七个需求状态时，一个市场的需求有四分之三的时间保持不变，如最后一行所示；下面给出了用25个状态时的相同数字。 + +```{code-cell} ipython3 +model_25 = create_model(n_s=25) +eq_25 = market_outcomes(model_25, equilibrium_λ(model_25, μ)) +print(f"{'':>24}{'7 states':>10}{'25 states':>11}") +for (name, a), b in zip(where_markets_sit(model, eq).items(), + where_markets_sit(model_25, eq_25).values()): + print(f"{name:>24}{100*a:>9.1f}%{100*b:>10.1f}%") +print(f"{'unemployment rate':>24}{100*eq['unemployment']/eq['workforce']:>9.2f}%" + f"{100*eq_25['unemployment']/eq_25['workforce']:>10.2f}%") +``` + +使用25个状态时，需求变动的次数更多，每次变动的幅度更小，裁员和吸纳工人的市场略有增加，但大多数市场仍然静止不动，失业率几乎没有变化。 + +### 工资分布 + +现在我们可以回到工资分布这个问题上，概述中提到它必须与工人的行为一并确定。搜寻文献把一个工资要约的分布交给工人，然后问他应该如何应对。 + +而在这里，这个分布是一个输出结果：每个市场都在其中支付劳动的边际产量，而一个市场所支付的工资取决于它所抽到的需求，以及有多少工人选择了待在那里。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Wages across identical workers, at the equilibrium + name: fig-lps-wages +--- +weight = eq['ψ']*eq['n'] # weight a market by the workers it employs +weight = weight/weight.sum() + +w, p = eq['w'].ravel(), weight.ravel() +order = np.argsort(w) +w, p = w[order], p[order] +cdf = np.cumsum(p) +quantile = lambda q: w[np.searchsorted(cdf, q)] +mean = (w*p).sum() +flow = λ_star*(1 - model.β) # the flow value of search + +fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 4)) +ax.hist(w, bins=30, weights=p, color='C0', alpha=0.85) +ax.axvline(mean, color='k', lw=1.5, label=f'mean {mean:.3f}') +ax.axvline(flow, color='C1', lw=1.5, ls='--', label=f'flow value of search {flow:.3f}') +ax.set_xlabel('wage') +ax.set_ylabel('share of workers') +ax.set_xlim(0.5, 1.45) # a thin tail runs past this; see the print below +ax.legend() +plt.tight_layout() +plt.show() + +print(f"mean {mean:.3f}, " + f"p10 {quantile(0.1):.3f}, median {quantile(0.5):.3f}, p90 {quantile(0.9):.3f}") +print(f"p90/p10 = {quantile(0.9)/quantile(0.1):.2f}, " + f"highest wage paid {w[p > 1e-12].max():.3f}") +print(f"share paid less than the flow value of search: {100*p[w < flow].sum():.0f}%") +near = np.abs(w - flow) < 0.001*flow +print(f"share paid within 0.1% of it: {100*p[near].sum():.1f}%") +``` + +这个经济体中的工人是同质的：他们具有相同的技能、相同的偏好和相同的信息，并且可以随时自由离开。然而他们获得的工资却各不相同，第九十百分位数的工资大约比第十百分位数的工资高出一半左右。 + +这种离散并非市场失灵或错误。它正是使得在任何吸纳工人的市场中*到达*的价值相等、以及在任何裁减工人的市场中留下或离开的价值相等所必需的。 + +在其他所有地方，在任那个岗位上的工人都在赚取租金，因为新工人需要一期时间才能到达，所以职位的价值也呈现出离散分布。 + +```{code-cell} ipython3 +held = eq['ψ']*model.y[None, :] # weight a market by its workforce +print(f"λ* = {λ_star:.3f}, average value of a worker's position = " + f"{(held*eq['v']).sum()/held.sum():.3f}") +print(f"share of workers whose position is worth more than λ*: " + f"{100*held[eq['v'] > λ_star + 1e-9].sum()/held.sum():.0f}%") +``` + +大约十分之九的工人所持有的职位，对他们而言的价值超过 $\lambda^*$。 + +图中虚线是搜寻的流量价值，$(1-\beta)\lambda^*$，它正是一名搜寻者所持有的职位每期的价值。 + +大约三分之一的工人获得的工资低于这个值，而他们仍然留了下来。确切的比例是不稳健的。 + +在这个网格上，大约十一分之一的工人所获工资与流量价值相差不到千分之一，正如前面打印结果的最后一行所示，因此网格的微小变化就可能使整块工人越过那条分界线；在我们尝试的各个网格中，该比例大致介于百分之三十到百分之四十之间。 + +这当中没有什么令人费解之处：工人所持有的并非他目前的工资。他持有的是特定市场中的一个职位，它附带着对该市场未来的一种求偿权，以及日后离开的选择权。 + +(lps_efficiency)= +## 效率 + +卢卡斯和普雷斯科特说 $\lambda$ 传递了"额外单位供给的正确社会回报"，但他们并未证明任何福利定理。 + +该模型却有这样一个定理，其证明使用的正是 {doc}`lucas_prescott_investment` 中研究的1971年论文所用的方法：找到一个与该均衡相一致的计划问题。 + +### 剩余 + +令 + +$$ +\Phi(s, n) = \sum_{m=1}^{n} R(s, m) +$$ + +表示边际收益函数到就业水平 $n$ 为止下方的面积。 + +根据 {eq}`lps_R`，这就是逆需求曲线 $D(s, \cdot)$ 到该行业产出为止下方的面积（按每家企业计算）：总消费者剩余，即1971年那篇论文的目标函数。 + +它只有在产品价格为给定值（$D(s, Q) = s$）时才等于产出的价值，所以我们称之为**剩余**。 + +### 单个市场的计划者 + +考虑一个管理单个市场的计划者，他可以让工人进出该市场，每释放一名工人到搜寻者队伍中，他会被记入 $\lambda$，每带入一名工人，他会被收取 $\lambda$。 + +如果下一期的劳动力为 $y'$，则该计划者本期雇用 $\min\{y, y'\}$ 名工人，并释放或带入差额部分，于是其价值满足 + +```{math} +:label: lps_planner +W(s, y) = \max_{y'} \Big\{ \Phi\big(s, \min\{y, y'\}\big) + \lambda\, (y - y') ++ \beta \int W(s', y')\, f(s', s)\, ds' \Big\} . +``` + +以下是**边际价值论证**。$\Phi(s, \cdot)$ 是凹函数，因为 $R$ 随 $n$ 下降，因此 $\Phi(s, \min\{y, y'\})$ 关于 $(y, y')$ 联合凹，而对 $y'$ 取最大化保持了凹性。 + +所以 $W$ 关于 $y$ 是凹的，计划者的选择由边际比较所主导，用边际价值 $\Delta W(s, y) = W(s, y) - W(s, y-1)$ 来表示。 + +把一名工人多留一期到下一期，其价值是他的工资加上 $\beta \int \Delta W(s', y') f(s', s)\, ds'$，而释放他的价值是 $\lambda$；带入一名工人需花费 $\lambda$，其价值仅仅是贴现延续值本身。 + +所以计划者会把工人释放到由 {eq}`lps_nbar` 以 $\Delta W$ 替代 $v$ 所定义的某个阈值为止，填充到由 {eq}`lps_ybar` 以同样方式定义的某个阈值为止，其余情况下则不改变劳动力水平。 + +逐案而言，边际工人的价值在计划者释放工人时为 $\lambda$，在计划者填充工人时为 $R + \lambda$（因为他省下了一次到来的费用），在二者之间则为 $R + \beta \int \Delta W f\, ds'$。 + +这分别对应情形A、情形B2和情形B1，所以 $\Delta W$ 满足 {eq}`lps_bellman`。根据 {prf:ref}`lps_prop_v` 中的唯一性，$\Delta W = v$，所以计划者的阈值就是均衡的阈值，其政策就是 {eq}`lps_transition`。 + +以下是**加总论证**。为每个市场配备这样一个计划者，使用相同的 $\lambda$，然后把它们的目标函数相加。 + +各项 $\lambda (y_t - y_{t+1})$ 加总起来等于 $\lambda$ 乘以经济体总劳动力的下降量，因为任何一期被释放的工人都会在下一期到达某个市场。 + +对任何可行的方案而言，总劳动力是恒定的，所以这些项加总为零，于是计划者们目标函数之和就等于剩余的预期现值。 + +均衡政策使每个计划者自身的目标函数最大化，所以它也使总和最大化。在 $\lambda = \lambda^*$ 处，该政策同时也是可行的，因为 $E(y; \lambda^*) = \mu$ 使总劳动力保持恒定。 + +所以，没有任何移动工人的可行方式能够产生比平稳均衡更高的剩余预期现值。 + +### 这个定理说了什么，又没说什么 + +精确地陈述，平稳均衡使**剩余的预期现值**最大化， + +* 从其自身的平稳分布 $\Psi(\lambda^*)$ 出发， +* 在所有可行方案中——包括非平稳的方案以及以其他市场历史为条件的方案——当移动需要一期时间时， +* 存在一个市场的连续统，因此均衡方案使经济体的劳动力逐期保持恒定， +* 在整数网格的误差范围之内，即 $E(y; \lambda^*)$ 与 $\mu$ 只相差一步，而非精确相等。 + +$\lambda^*$ 是加入搜寻者队伍中的一名工人的现值；就每一期而言，经济体劳动力固定这一约束的乘子是 $(1-\beta)\lambda^*$，即上述工资图中搜寻的流量价值。 + +这个定理关乎总剩余，无论它归谁所有，它没有说明剩余是如何被分配的：{ref}`lps_ex_cost` 找到了一项降低剩余、却使工人境况变得更好的政策。 + +它也没有对各个稳态进行排序。它的比较从 $\Psi(\lambda^*)$ 出发，并计入通往任何其他配置途中发生的一切。 + +一项通向不同稳态的政策，可能会在那个稳态中提高剩余，同时却降低现值，因为到达那里首先要付出剩余的代价。 + +{ref}`lps_ex_planner` 计算了两个例子，一项对移动的小额补贴，以及一个比工人更有耐心的计划者的阈值，这两者都把每工人稳态剩余提升到高于均衡水平。 + +这正是增长理论中**修正黄金法则**的逻辑：一个对未来进行贴现的计划者所选择的资本量，会少于使消费最大化的稳态所对应的资本量，因为建造额外的资本首先要牺牲消费。 + +在这里，重新配置一名工人以牺牲他当前一期的产出为代价，而在以后才有回报，因此一个进行贴现的计划者会减少重新配置，其失业也会比使稳态剩余最大化的计划者更少。 + +效率是相对于移动这项需要一期时间的技术而言的，而均衡所拥有的失业量，恰好就是在未来以 $\beta$ 贴现之后，这项技术所值得承受的那个量。 + +## 与其他讲座的关系 + +在 {cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2023` 的第一条脚注中，摩擦性失业并不存在一个"标准模型"，但存在三类可操作的模型：戴蒙德-莫滕森-皮萨里德斯传统中的匹配模型、{cite:t}`McCall1970` 的均衡版本，以及 {cite:t}`LucasPrescott1974` 传统中的搜寻-孤岛模型。 + +这三类模型经过标定后都能拟合劳动力市场流量方面的数据，并对诸如失业保险和裁员税之类的政策给出合理的失业反应。 + +本讲座属于第三类，而本系列中关于麦考尔的讲座则在局部均衡下研究第二类模型核心的工人问题。本模型为它们增添的是要约另一方的全部内容。 + +一名工人所获得的工资要约，是其所在市场劳动的边际产量，而该市场的劳动力水平是由其他工人决定去哪里所确定的，而到别处寻找的价值 $\lambda$，正是使整个经济体工人市场出清的那个数字。 + +其中一个结果是不存在保留工资，正如 $SS$ 曲线所示。另一个涉及就业与失业之间的流动率。 + +{doc}`lake_model` 把这两个比率都当作参数：一个求职率$0.283$（该讲座称之为 $\lambda$，不要与此处的搜寻价值混淆）和一个分离率$0.013$作为输入，失业率作为输出。 + +{doc}`endogenous_lake` 使求职率成为一个麦考尔问题的结果，尽管仍然是针对一个给定的工资分布。 + +在本讲座中，分离率是一个均衡对象，而求职率本质上通过构造就为一。 + +上文打印出的分离率，大约为每期已就业人数的$2.2$个百分点，它综合了需求变动使市场跌破就业阈值的频率，以及这样一个市场裁减多少工人这两个因素。 + +```{warning} +本模型中的求职率*本质上为一*。 + +一名离开者会在下一期开始时被安置到某个市场，所以一次失业的持续期为一期，该模型对失业的*持续时间*没有任何说法。 + +严格说来，一个接收搜寻者的市场，其需求可能下降得如此之多，以致它裁减的工人数超过到来者抵达之前它所拥有的工人数，于是部分新来者不得不再次移动；在这个标定中，即便新来者是最先被裁减的，这种情况发生的概率也不到百分之一。 +``` + +### 孤岛模型演变成了什么 + +{cite:t}`AlvarezVeracierto1999` 把这个模型拿来，使之成为一个用于定量政策分析的工具，用他们自己的话说，是通过"修改卢卡斯和普雷斯科特（1974年）的孤岛模型，以纳入非定向搜寻和退出劳动力队伍的参与"。 + +其中四处发生了变化。搜寻变成了**非定向**的：搜寻者"均匀地分布到所有孤岛上"，所以一个孤岛下一期的劳动力就是它自身的就业加上其他每个孤岛所得到的相同流入量，无论它是否想要这些工人。 + +一名搜寻者可能因此落入一个本身正在裁减工人的市场，不得不再度移动，于是失业的持续时间成为一个均衡对象；在他们的自由放任基准情形下，它平均为$2.4$期。 + +非就业者获得了第二个选项——家庭生产，于是参与劳动力市场成为一个决策边际，该模型由此拥有三个状态而非两个。 + +有了家庭生产之后，搜寻者的流入量由搜寻与待在家里之间的无差异条件所确定，于是劳动力规模成为一个内生结果，这一点很重要，因为他们所研究的政策正是作用于人们是否参与求职这一决策之上的。 + +各孤岛以一种受到持续性生产率冲击影响的规模报酬递减的技术进行生产，而不是面对一条波动的需求曲线。并且主体之间交易一整套完备的或有债权。 + +他们的自由放任均衡"是有效率的（尽管存在搜寻摩擦）"，这是他们经济体中与 {ref}`lps_efficiency` 相对应的结果，他们将其作为基准，用以评估最低工资、两种工会模型、裁员税和失业保险，模型的一期取为六周。 + +举例来说，一项相当于平均一年工资十二个月的裁员税，会使他们的失业率从$5.3$个百分点*降至*$3.7$个百分点，并使平均失业持续期从$2.4$期*升至*$5.1$期，同时使福利下降相当于消费的$2.1$至$2.3$个百分点。 + +```{note} +非定向搜寻改变了 $\lambda$ 的确定方式。 + +在定向搜寻下，$\lambda$ 是一个*价格*：提高它，每个市场都会更早裁减工人，并较少被填满，所以 {eq}`lps_equilibrium` 像市场出清条件确定任何其他价格一样确定了它，而 {eq}`lps_bellman` 中的 $\min$ 使每个接收工人的市场对他们而言恰好值 $\lambda$。 + +在非定向搜寻下，一名搜寻者会落入一个随机抽取的市场，所以 $\lambda$ 需要它自身的一个一致性条件，而共同的流入量 $U$ 成为第二个未知量。 + +在人口固定的情况下，该模型仍然是可确定的：对于这两个未知量，存在两个条件——人口条件和 $\lambda$ 的一致性条件。 + +在这个标定中，一旦允许流入量为分数，均衡就存在且唯一，但一般而言，唯一性不再能由单一一条递减函数自然得出。 + +{ref}`lps_ex_undirected` 计算了这一情形：非定向搜寻降低了搜寻的价值，也降低了失业。 +``` + +### 劳动力流动性的回报 + +卢卡斯和普雷斯科特在关于移动成本的讨论结尾处提出了一个猜想，即"这类实际或感知的换工作成本的差异，有助于解释所观察到的各职业之间以及各国之间平均失业率的差异"。 + +为什么平均失业率在各国之间存在差异，成为这一类模型的核心问题；举例来说，{cite:t}`LjungqvistSargent1998` 把欧洲失业的上升归因于慷慨的失业救济与更加动荡的经济环境之间的相互作用。 + +{cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2025` 把一名工人在其所去之处相比于所在之处能多生产多少——即**劳动力流动性的回报**，称作"在所有带有摩擦性劳动力市场的现代宏观经济模型中都起着重要中介作用的力量"。 + +{cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2023` 表明，正是同一个量，决定了一项裁员税对失业会产生什么影响，也决定了离职时的技能损失是否能够逆转动荡对失业的影响。这是冲击本身的性质与传导该冲击的技术二者共同作用的结果。 + +{cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2025` 发现，通过新古典生产函数传导冲击、标定到企业规模动态的模型，所得出的劳动力流动性回报对参数的扰动是稳健的，而标定到劳动力市场统计数据的人均生产率过程则可能是脆弱的。 + +他们所研究的模型之一是 {cite:t}`AlvarezVeracierto2001` 的模型，该模型把一个生产率过程标定到戴维斯和哈尔蒂万格关于岗位创造与岗位破坏的企业数据上。 + +那篇论文是一个与 {cite:t}`AlvarezVeracierto1999` 不同的模型：各生产单位在一个位置随机变动的共同劳动力市场上招聘，工资合同是刚性的，缺乏保险市场的风险厌恶型主体进行自我保险，并选择搜寻的努力程度。 + +一个生产单位用资本 $k$ 和劳动 $n$ 生产 $z\, k^{\theta_k} n^{\theta_n}$，其中生产率为 $z$，且 $\theta_k + \theta_n < 1$。 + +{cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2025` 对该模型进行了简化，去掉了创建一个生产单位的成本以及一项小额裁员税，使得每个生产单位都在现货市场上租用资本并雇用劳动，并且全都使边际产品相等，这就得到 + +```{math} +:label: lps_av_ratio +\frac{n_{\text{high}}}{n_{\text{low}}} += \left(\frac{z_{\text{high}}}{z_{\text{low}}}\right)^{1/(1-\theta_k-\theta_n)} , +``` + +因此，一个冲击被一个随着规模报酬趋近于一而发散的指数放大了。 + +在阿尔瓦雷斯和维拉谢尔托的参数之下，他们发现一个低生产率的生产单位所雇用的工人仅为高生产率生产单位的$3.81$个百分点，比率大约为$26$，而高生产率生产单位占据了全部就业的$96$个百分点以上：约$4.35$的指数把一个$2.12$的生产率比率转变为约$26$的就业比率。 + +那是一种无摩擦的配置，因为每个生产单位都在同一个现货市场上招聘。在本模型中，移动需要一期时间，{ref}`lps_ex_two_states` 探讨了像$26$这样的一个比率在这种摩擦之下能够保留多少，同时保持与阿尔瓦雷斯和维拉谢尔托相同的技术与冲击。 + +## 练习 + +```{exercise} +:label: lps_ex_persistence + +{cite:t}`LucasPrescott1974` 从他们自己的数值例子中报告了两个比较静态结果： + +> *总体而言，我们发现无论需求持续性是低还是高，失业率都较低。在持续性较低的情形中，重新配置工人几乎没有什么收益；而在持续性较高的情形中，重新配置发生得很少。正如预期，在持续性固定不变的情况下，需求的变动性越大，失业水平就越高。* + +在保持 $\mu = 50$ 不变的情况下，在这个标定中检验这两个结论。 + +1. 在保持 $\log s$ 的*平稳*标准差固定为$0.26$的情况下，对持续性 $\rho \in \{0.6, 0.8, 0.9, 0.95, 0.99\}$ 计算均衡失业率；并在保持 $\rho = 0.9$ 的情况下，对平稳标准差 $\{0.10, 0.18, 0.26, 0.34, 0.45\}$ 计算均衡失业率。解释你所发现的形状。 +1. 在需求相互独立的情形下，即 $\rho = 0$，`equilibrium_λ` 会报错停止。证明此时失业恰好为零，且均衡的 $\lambda$ 并不唯一。这为何不与论文的命题5、也不与其关于失业在每一期都为正的论断相矛盾？ +1. 在 $\rho = 0.3$ 处重复第2部分，先用七个需求状态，再用25个需求状态。这一比较对第1部分的低持续性端说明了什么？ +``` + +```{solution-start} lps_ex_persistence +:class: dropdown +``` + +在 $\rho$ 变化时保持平稳标准差不变，正是 `create_model` 的参数 `sd` 已经做到的事，所以每次实验都只是一次函数调用。 + +```{code-cell} ipython3 +def u_rate(model, μ): + "The equilibrium unemployment rate." + r = market_outcomes(model, equilibrium_λ(model, μ)) + return r['unemployment']/r['workforce'] + +for ρ in (0.6, 0.8, 0.9, 0.95, 0.99): + print(f"ρ = {ρ:<5} unemployment rate {100*u_rate(create_model(ρ=ρ), μ):.2f}%") +print() +for sd in (0.10, 0.18, 0.26, 0.34, 0.45): + print(f"sd = {sd:<5} unemployment rate {100*u_rate(create_model(sd=sd), μ):.2f}%") +``` + +变动性的作用正如预期：移动幅度更大的需求会移动更多的工人，失业率随之稳步上升。 + +持续性则不然：失业率在 $\rho$ 约为$0.8$至$0.9$处达到峰值，然后在 $\rho = 0.99$ 时又回落到峰值的大约四分之一。这正是卢卡斯和普雷斯科特所描述的形状，而两端之所以较低，原因并不相同。 + +当需求在各期之间几乎独立时，今天运气不好的市场预期明天会回归平均水平，所以留下来的价值几乎不依赖于今天的需求，到达阈值 $\bar y(s)$ 几乎不随 $s$ 变化，因此几乎从没有工人被裁减；第2部分把这推向了极限。 + +当需求几乎是永久性的时，它从一期到下一期几乎没有变化：在七状态链上它很少变化，一变就是一整档；在更精细的链上它变化更频繁，但每次幅度更小。无论哪种情形，在任何一期都几乎没有工人有理由移动，这正是论文所说的"重新配置发生得很少"。 + +失业需要既*值得*应对、又*频繁*出现的需求变动，而只有中等程度的持续性才能同时提供这两者。 + +对于第2部分，`equilibrium_λ` 之所以报错停止，是因为不变分布不唯一，这正是 {ref}`lps_regions` 中说明的第三种情形。所以我们转而寻找这样的 $\lambda$ 值：在这些值处，一个持有 $\mu$ 名工人的市场永不移动，即 $\max_s \bar y(s) \le \mu \le \min_s \bar n(s)$。 + +两个阈值都随 $\lambda$ 上升而下降，因此该集合的每一端都可以用二分法找到。 + +```{code-cell} ipython3 +def rest_interval(model, μ, lo=0.01, hi=40.0): + "The interval of λ at which a market holding μ workers never moves, or None." + def ends(λ): + n_bar, y_bar = thresholds(model, worker_value(model, λ)[0], λ) + return y_bar.max(), n_bar.min() + λ_a = bisect(lambda λ: ends(λ)[0] <= μ, lo, hi) # no market fills past μ + λ_b = bisect(lambda λ: ends(λ)[1] < μ, lo, hi) # some market sheds below μ + return (λ_a, λ_b) if λ_a < λ_b else None + +m_iid = create_model(ρ=0.0) +n_bar_iid, y_bar_iid = thresholds(m_iid, worker_value(m_iid, 7.1)[0], 7.1) +print("rows of P identical:", np.allclose(m_iid.P, m_iid.P[0])) +print("at λ = 7.1: n̄(s) =", n_bar_iid, " ȳ(s) =", y_bar_iid) +print("λ at which a market holding μ never moves: from {:.3f} to {:.3f}".format( + *rest_interval(m_iid, μ))) +``` + +需求相互独立时，$P$ 的每一行都相同，因此延续值 $\beta \sum_{s'} v(s', y) P(s, s')$ 不依赖于 $s$，$\bar y$ 也是如此。 + +由于在每个状态下都有 $\bar y(s) \le \bar n(s)$，这个共同的 $\bar y$ 低于每一个就业阈值。所以任何介于 $\bar y$ 和 $\min_s \bar n(s)$ 之间的劳动力水平在每个需求状态下都原地不动，各市场最终漂移到这个区间内并停止；长期而言没有人移动，失业恰好为零。 + +该区间内的每一个劳动力水平都是吸收态，所以不变分布不唯一，打印出的区间内的每一个 $\lambda$ 都支撑着一个每个市场都持有 $\mu$ 名工人的均衡。 + +该区间的宽度是离散化之链的一个性质：随着状态数的增加，它会收窄，因为最差的需求状态被推得更远，其就业阈值向共同的 $\bar y$ 靠近。然而失业始终保持为零，因为每一个 $\bar n(s)$ 都至少等于 $\bar y$。 + +这一切都不与论文矛盾，起作用的关键区别在于 $x \equiv 1$。命题5中 $\lambda$ 的唯一性，以及失业在每一期都为正的论断，二者都依赖于命题3中唯一的平稳密度，而该密度是通过随机到来使某些市场过度填满而得出的；在确定性到来的情形下，这一论证就不再适用了。 + +需求相互独立也违反了论文所维持的 $F(s', s)$ 关于 $s$ 的严格单调性，而论文脚注7中的例子要求AR(1)系数严格为正。 + +对于第3部分，在 $\rho = 0.3$ 处进行相同的检验，在两种网格下给出了不同的答案。 + +```{code-cell} ipython3 +for n_s in (7, 25): + m = create_model(n_s=n_s, ρ=0.3) + rest = rest_interval(m, μ) + if rest is not None: + print(f"{n_s:>2} states: at rest for λ from {rest[0]:.3f} to {rest[1]:.3f}") + else: + print(f"{n_s:>2} states: unique λ*, unemployment rate {100*u_rate(m, μ):.3f}%") +``` + +在七个状态下，持续性$0.3$不足以把到达阈值推过最低的就业阈值，经济体处于静止状态，就像 $\rho = 0$ 时一样。在25个状态下，极端需求状态被推得更远，均衡是唯一的，失业为正但非常微小。 + +所以在 $\rho = 0.3$ 处，无论用哪种网格，失业都很低，这正如论文所说，但它是否恰好为零，则是离散化之链的一个性质。 + +离散化方法在另一端的影响更大。 + +```{code-cell} ipython3 +def chain_moments(m): + "Standard deviation and autocorrelation of log s, and the chance that s stays put." + π = qe.MarkovChain(m.P).stationary_distributions[0] + x = np.log(m.s) - π @ np.log(m.s) + sd = np.sqrt(π @ x**2) + return sd, (π*x) @ (m.P @ x)/sd**2, π @ np.diag(m.P) + +print(f"{'method':>12}{'ρ':>6}{'sd':>8}{'autocorr':>10}{'P(stay)':>9}{'u rate':>9}") +for ρ in (0.9, 0.99): + for method in ('rouwenhorst', 'tauchen'): + m = create_model(ρ=ρ, method=method) + sd, ac, stay = chain_moments(m) + print(f"{method:>12}{ρ:>6}{sd:>8.3f}{ac:>10.4f}{stay:>9.3f}" + f"{100*u_rate(m, μ):>8.2f}%") +``` + +鲁文霍斯特之链恰好具有目标标准差$0.26$和目标自相关性。塔琛（Tauchen）七状态链在 $\rho = 0.9$ 时波动性过大，这使失业率上升了大约四分之一。 + +在 $\rho = 0.99$ 时，它既波动性过大，又过于持续：其需求状态几乎从不变化，所以市场几乎从不重新配置，失业几乎消失。 + +用七个状态时，这会使第1部分的右端看起来像左端；而用25个状态时，两种方法几乎一致。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: lps_ex_cost + +在他们的结论部分，卢卡斯和普雷斯科特考虑了离开一个市场进行搜寻需支付一笔总额成本 $c$ 的情形，于是 {eq}`lps_nbar` 的右边从 $\lambda$ 变成了 $\lambda - c$：一名离开者所获得的是净去其移动成本之后的搜寻价值。 + +到来条件 {eq}`lps_ybar` 保持不变，因为它为已经处于搜寻中的工人所面对的市场定价。 + +他们说这项成本"会抬高图3中 $y = \bar n(s, \lambda)$ 这条曲线，并使图4中的'需求曲线'向下移动。其结果是失业下降，而均衡的工资现值 $\lambda$ 也下降"，并指出这 + +> *表明，更低的平均失业率一般而言并不意味着工人获得了更高的福利。* + +`market_outcomes` 和 `equilibrium_λ` 已经将该成本作为参数 `c`。 + +对 $c \in \{0, 0.2, 0.5, 1, 2\}$，报告均衡 $\lambda^*$ 和 $\lambda^* - c$、失业率、每市场剩余、每市场工资总额、租金（剩余减去工资总额），以及每个工人每期的工人收入——即工资总额净去工人为移动所支付的费用，再除以劳动力规模。 + +1. $\lambda^*$ 是否如论文所说那样下降？如果不是，那么下降的是什么？ +1. 更低的失业是否意味着境况更好？将工人所获得的与经济体所损失的，以每工人现值的形式进行比较。 +1. 谁为此买单？分别就两种情形各回答一次：一次将 $c$ 视为一项资源，在移动过程中被消耗掉；另一次将其视为一项税收，其收入以总额方式返还给工人。 +1. {cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2023` 使用能够关闭全部内生性分离的最小裁员税，作为一个模型中劳动力流动性回报的诊断指标。以平均工资为单位，用7个、15个和25个需求状态分别计算能够做到这一点的最小 $c$。这个值为何随状态数而变化？ +``` + +```{solution-start} lps_ex_cost +:class: dropdown +``` + +在进行扫描之前，先看看这项成本在自由放任的搜寻价值处对劳动力需求做了什么。 + +```{code-cell} ipython3 +λ_0 = equilibrium_λ(model, μ) +for c in (0.0, 2.0): + n_bar_c, y_bar_c = thresholds(model, worker_value(model, λ_0, c)[0], λ_0, c) + print(f"c = {c}: workforce demand {workforce_demand(model, λ_0, c):5.1f}, " + f"n̄(s) = {n_bar_c}, ȳ(s) = {y_bar_c}") +``` + +该成本提高了劳动力需求，所以新的 $\lambda^*$ 高于旧值，我们从那里开始每一次二分法。这也使它远离低 $\lambda$ 值的区域，因为在有成本的情况下，不变分布在那里不唯一，二分法会在那里停止。 + +在一个平稳分布中，每个失业的工人本期都恰好离开了一次他所在的市场，所以工人支付的移动成本总额为 $c$ 乘以每市场的失业人数。 + +```{code-cell} ipython3 +results = {} +for c in (0.0, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0): + λ_c = equilibrium_λ(model, μ, c, lo=λ_0) if c > 0 else λ_0 + results[c] = (λ_c, market_outcomes(model, λ_c, c)) + +income = lambda r, c: (r['wage_bill'] - c*r['unemployment'])/r['workforce'] +rents = lambda r: r['surplus'] - r['wage_bill'] + +print(f"{'c':>5}{'λ*':>8}{'λ*-c':>8}{'u rate':>9}{'surplus':>9}{'wages':>8}" + f"{'rents':>8}{'income':>9}") +for c, (λ_c, r) in results.items(): + print(f"{c:>5}{λ_c:>8.3f}{λ_c - c:>8.3f}" + f"{100*r['unemployment']/r['workforce']:>8.2f}%{r['surplus']:>9.3f}" + f"{r['wage_bill']:>8.3f}{rents(r):>8.3f}{income(r, c):>9.4f}") +``` + +剩余、工资和租金都是每市场的流量，而收入是每工人的流量。为了比较工人所获得的与经济体所损失的，把两者都换算为每工人的现值，即用流量除以 $1 - \beta$。 + +```{code-cell} ipython3 +β = model.β +r_0 = results[0.0][1] +pv = lambda flow: flow/(1 - β) +surplus_pw = lambda r: r['surplus']/r['workforce'] +print(f"{'c':>5}{'workers gain':>14}{'surplus lost':>14}{'ratio':>7}") +for c, (_, r) in results.items(): + gain = pv(income(r, c) - income(r_0, 0.0)) + loss = pv(surplus_pw(r_0) - surplus_pw(r)) + ratio = f"{loss/gain:7.1f}" if gain > 0 else f"{'':>7}" + print(f"{c:>5}{gain:>14.4f}{loss:>14.4f}{ratio}") + +r_2 = results[2.0][1] +print(f"\nc = 2: unemployment falls {100*(1 - r_2['unemployment']/r_0['unemployment']):.0f}%, " + f"the wage bill rises {100*(r_2['wage_bill']/r_0['wage_bill'] - 1):.1f}%, " + f"rents fall {100*(1 - rents(r_2)/rents(r_0)):.0f}%") +print(f"moving costs paid, a present value per worker: " + f"{pv(2.0*r_2['unemployment']/r_2['workforce']):.4f}") +``` + +对于第1部分，卢卡斯和普雷斯科特说这项成本使他们图4中的需求曲线向下移动，并降低 $\lambda$，但在这里它的作用恰好相反。 + +在自由放任的 $\lambda^*$ 处，这项成本使劳动力需求提高了约一半。它在每一个有人工作的需求状态下都大幅提高了就业阈值 $\bar n(s)$，因为一个本会离开的工人现在还要放弃 $c$；同时它使到达阈值略有下降。 + +这正是论文自身的第一步，"抬高曲线 $y = \bar n(s, \lambda)$"，而在图4中把 $\lambda$ 放在纵轴上时，这会使需求曲线向上移动，而非向下。 + +由于所需求的工人数超过经济体所拥有的数量，$\lambda^*$ 必须上升，而它确实上升了。下降的是 $\lambda^* - c$，即离开这一选择权扣除其成本后的价值，这正是一名决定是否留下的工人所比较的数值，论文的论断对这个数字成立，而不是对 $\lambda^*$ 本身成立。 + +对于第2部分，成本为二时把测得的失业削减了近十分之九。如果以扣除移动成本之后的收入来衡量，从 $c = 0.5$ 起，工人明显获益。 + +对于较小的成本，工人为移动所支付的费用几乎抵消了额外的工资，所以净收益接近零，而在这个网格上，$c = 0.2$ 时净收益略为负值。 + +经济体的损失超过工人的所得：在 $c = 2$ 时，剩余的下降幅度大约是工人收入上升幅度的两到两倍半。这些都是稳态之间的比较，没有计入从一个稳态过渡到另一个稳态的过程。 + +所以，更低的失业并非一个福利指标，但这个教训所呈现的形式与论文的并不相同：卢卡斯和普雷斯科特笔下的工人境况变差是因为 $\lambda$ 下降，而我们这里的工人境况变好，整个经济体却变差。 + +这项成本所消除的失业是*生产性*的。那些工人在任何有意义的层面上都不是闲置的；他们正处于从边际产量已下降的市场转移到边际产量较高的市场的途中，而这项成本使他们留在原地。 + +对于第3部分，工资总额略有上升，而租金——剩余减去工资总额——下降了约五分之一。 + +剩余就是 $R$ 之下的面积，所以租金就是企业的利润，加上——当产品需求向下倾斜时——该市场商品购买者的消费者剩余，而承担这项成本的正是他们。 + +账目如何平衡，取决于 $c$ 究竟是什么。如果它是一项真实资源，上面打印出的移动成本也会被消耗掉，叠加在剩余损失之上，由工人承担。 + +如果它是一项以总额方式返还给工人的税收，那么除了剩余损失之外没有任何东西被消耗，这笔返还每期把那些相同的移动成本还给工人，而不改变任何人的决策，因此工人获益更多。 + +这两种情形在剩余损失意味着什么这一点上也有所不同。{ref}`lps_ex_planner` 表明，在资源成本的情形下，均衡就是针对那项代价更高的移动技术而言计划者的配置，所以较低的剩余是更差技术所付出的代价，而非一种低效率；而在返还式税收的情形下，技术本身没有改变，均衡不再是针对该技术的计划者配置，所以较低的剩余是一种效率损失。 + +对于第4部分，回想一下 {ref}`lps_regions` 中的说明。分离恰好在存在这样一个 $\lambda$ 时停止：在该 $\lambda$ 下，一个持有 $\mu$ 名工人的市场永不移动，没有任何状态的到达阈值高于 $\mu$，也没有任何状态的就业阈值低于 $\mu$。 + +一项成本会提高就业阈值，所以我们寻找使这样一个 $\lambda$ 存在的最小成本。 + +一旦分离停止，每个市场就永远持有 $\mu$ 名工人，于是处于需求状态 $s$ 的工人持有 $v_s$，其中 $v = (I - \beta P)^{-1} R(\cdot, \mu)$，且当对每个 $s$ 都有 $\beta (Pv)_s \le \lambda \le v_s + c$ 时，没有人离开或到来。 + +这给出了一个可以与数值计算相对照的公式，$c_{\min} \approx \beta \max_s (Pv)_s - \min_s v_s$，它忽略了整数网格。 + +```{code-cell} ipython3 +def at_rest_values(model, μ): + "The value of a position when every market holds μ workers for ever." + return np.linalg.solve(np.eye(len(model.s)) - model.β*model.P, model.R[:, μ]) + +def min_cost(model, μ, lo=1.0, hi=20.0, c_hi=20.0): + "The smallest c at which some λ leaves a market holding μ workers at rest." + def at_rest(c): + ends = lambda λ: thresholds(model, worker_value(model, λ, c)[0], λ, c) + λ_a = bisect(lambda λ: ends(λ)[1].max() <= μ, lo, hi, tol=1e-3) # nobody fills past μ + n_bar, y_bar = ends(λ_a) + return y_bar.max() <= μ <= n_bar.min() + return bisect(at_rest, 0.0, c_hi, tol=1e-2) + +print(f"{'states':>7}{'c_min/wage':>12}{'formula':>9}{'log s ranges over':>20}") +for n_s in (7, 15, 25): + m = create_model(n_s=n_s) + v_rest = at_rest_values(m, μ) + wage = qe.MarkovChain(m.P).stationary_distributions[0] @ m.R[:, μ] + formula = m.β*(m.P @ v_rest).max() - v_rest.min() + print(f"{n_s:>7}{min_cost(m, μ)/wage:>12.2f}{formula/wage:>9.2f}" + f"{np.log(m.s).min():>11.2f} to {np.log(m.s).max():.2f}") +``` + +这里作为单位所用的工资，是当每个市场都持有 $\mu$ 名工人时的平均工资，这正是分离停止之后经济体的样貌；它与自由放任下的平均工资相差不到半个百分点。 + +使所有分离都停止的那项成本随着状态数的增加而增大，公式说明了原因。它由一个市场可能处于的最好与最差需求状态之间的差距所决定，而鲁文霍斯特之链把它的极端状态放在 $\log s$ 中的 $\pm 0.26 \sqrt{n_s - 1}$ 处，所以随着状态增多它们会彼此分得更开。 + +$\log s$ 本身是一个支撑无界的AR(1)过程，所以对于具有连续需求的模型，没有任何有限的成本能够使所有分离都停止：此处计算出的数值衡量的是离散化需求过程的支撑范围。 + +对于 {ref}`lps_ex_two_states` 中那个对称的两状态链——需求以概率 $\rho$ 保持不变，且 $R(s,n) = s\, g(n)$——该公式有一个闭合形式， + +$$ +\frac{c_{\min}}{\bar w} += -1 + \frac{s_{\text{high}} - s_{\text{low}}}{s_{\text{high}} + s_{\text{low}}} +\cdot \frac{1 + \beta(2\rho - 1)}{1 - \beta(2\rho - 1)} , +$$ + +在该情形下约为$1.05$期的工资，它取决于需求过程和 $\beta$，但不依赖于 $g$ 的形状：在本模型中，该诊断指标衡量的是需求的分散程度和持续性，而不是 $R$ 的曲率。 + +该标定并未说明一期有多长；在 $\beta = 0.9$ 的情形下，自然可以把它理解为一年，那样一来每次失业都会持续一年。作为对照，在 {cite:t}`BaleyLjungqvistSargent2023` 用作其基准的永奎斯特-萨金特匹配模型中，相当于每工人一年产出$163$至$184$个百分点的裁员税足以关闭全部内生性分离，而该模型一期的长度为半个季度。 + +贝利、永奎斯特和萨金特想要表达的观点是，这个数字必须*很大*才具有可信性，因为在裁员成本存在巨大差异的各个经济体中，都能观察到大量的重新配置活动。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: lps_ex_two_states + +{cite:t}`LucasPrescott1974` 附录中的数值例子只使用了两个需求状态，具体为 + +$$ +P = \begin{bmatrix} \rho & 1 - \rho \\ 1 - \rho & \rho \end{bmatrix} , +\qquad \rho = 0.9, +\qquad s \in \{1, 2\}, +\qquad \beta = 0.9 . +$$ + +这里 $\rho$ 是需求保持不变的概率，所以 $s$ 的自相关性为 $2\rho - 1 = 0.8$；而在七状态链中，$\rho$ 本身就是自相关性。 + +构建这个经济体，保持 $R(s,n) = s\,(1 - n/N)^{+}$，其中 $N = 200$，并在需要均衡的地方取 $\mu = 50$。 + +1. 对一个 $\lambda$ 网格，绘制劳动力需求和平均失业对 $\lambda$ 的图形，如论文图5的中图和下图所示。 +1. 在 $\lambda = 6$ 时，证明不变分布把全部概率质量集中在*两个*劳动力数值上，并指出这两个值分别是什么。 +1. 利用这一事实，推导一个用 $\bar n$、$\bar y$ 和 $\rho$ 表示每市场平均失业的公式，用网格上每一个 $\lambda$ 处的计算值进行验证，并用它解释第1部分图形的形状。 +1. 证明失业*率*仅取决于 $\rho$ 以及 $r = \bar y(s_{\text{high}})/\bar n(s_{\text{low}})$，并且它永远不会超过 $1 - \rho$。 +1. 现在把 $R$ 替换为某种规模报酬递减技术的边际产品：产出为 $s\, n^{\alpha}$，其中 $0 < \alpha < 1$，于是 $R(s, n) = s\,\alpha\, n^{\alpha-1}$。对 $\alpha \in \{0.4, 0.6, 0.75\}$ 求解；并对一个类似阿尔瓦雷斯和维拉谢尔托模型的经济体求解，取 $\alpha = \theta_n/(1-\theta_k)$ 和 $s_{\text{high}} = 2.12^{1/(1-\theta_k)}$，在他们的参数 $\theta_k = 0.19$ 和 $\theta_n = 0.58$ 之下，这正是在资本（每期租用）已被最优选定之后的那项技术。报告两个需求状态之间平均就业的比率、其无摩擦对应值 {eq}`lps_av_ratio`，以及失业率。证明平均就业的比率为 $\rho r + 1 - \rho$，用它来表示失业率，并说明随着劳动力流动性回报的提高，失业会发生什么变化。 +``` + +```{solution-start} lps_ex_two_states +:class: dropdown +``` + +两状态链只需要它自己的 $P$ 和 $s$。 + +```{code-cell} ipython3 +def two_state_model(ρ=0.9, s_high=2.0, β=0.9, y_max=260, R=linear_R, **R_args): + "The paper's two-state demand process: demand stays put with probability ρ." + P = np.array([[ρ, 1 - ρ], [1 - ρ, ρ]]) + return make_model(P, np.array([1.0, s_high]), β, y_max, R, **R_args) + +two = two_state_model() +grid2 = np.arange(0.4, 14.0, 0.1) +res2 = [market_outcomes(two, λ) for λ in grid2] +Ey2 = np.array([r['workforce'] for r in res2]) +Eu2 = np.array([r['unemployment'] for r in res2]) +``` + +论文将 $\lambda$ 置于纵轴上。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Workforce demand and unemployment in the paper's two-state economy + name: fig-lps-two-state +--- +fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4.2)) +axes[0].plot(Ey2, grid2, lw=2) +axes[0].set_xlabel('workforce demand per market') +axes[1].plot(Eu2, grid2, lw=2) +axes[1].set_xlabel('average unemployment per market') +for ax in axes: + ax.set_ylabel(r'$\lambda$') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +右图具有论文图5下方两幅图的形状：在中等的 $\lambda$ 值处，平均失业最大。 + +对于第2部分，考察 $\lambda = 6$ 时不变分布的支撑。 + +```{code-cell} ipython3 +r_six = market_outcomes(two, 6.0) +support = np.where(r_six['ψ'].sum(axis=0) > 1e-12)[0] +print("workforce values with positive probability:", support) +print("n̄(s) =", r_six['n_bar'], " ȳ(s) =", r_six['y_bar']) +``` + +这两个值分别是 $\bar n(s_{\text{low}})$ 和 $\bar y(s_{\text{high}})$。要理解原因，可以遵循 {eq}`lps_transition`。 + +在低状态下，劳动力被限制到 $[\bar y(s_{\text{low}}), \bar n(s_{\text{low}})]$ 之中，在高状态下则被限制到 $[\bar y(s_{\text{high}}), \bar n(s_{\text{high}})]$ 之中，而在这个 $\lambda$ 值处，第二个区间完全位于第一个区间之上。 + +所以处于低状态的一期会把任何劳动力水平带到 $\bar n(s_{\text{low}})$，处于高状态的一期会把它带到 $\bar y(s_{\text{high}})$，于是该市场就在这两个值之间来回往复。在每一个使 $\bar n(s_{\text{low}}) < \bar y(s_{\text{high}})$ 成立的 $\lambda$ 处都是如此，而这覆盖了整个网格。 + +对于第3部分，失业只在经济下行的第一期为正：该市场以 $\bar y(s_{\text{high}})$ 名工人进入该期，此时需求刚好下降，就业为 $\bar n(s_{\text{low}})$。 + +这一事件就是"上一期为高状态，而现在为低状态"，其平稳概率为 $\tfrac12 (1-\rho)$，所以 + +$$ +E[u] = \tfrac12 (1-\rho)\, +\big[\bar y(s_{\text{high}}) - \bar n(s_{\text{low}})\big] . +$$ + +我们对网格上的每一点都检验该公式，$\rho$ 从转移矩阵中读取。 + +```{code-cell} ipython3 +ρ_2 = two.P[0, 0] +gap2 = np.array([r['y_bar'][1] - r['n_bar'][0] for r in res2]) +print(f"largest difference between formula and computation: " + f"{np.abs(0.5*(1 - ρ_2)*gap2 - Eu2).max():.1e}") + +n_lo = np.array([r['n_bar'][0] for r in res2]) +print(f"unemployment per market peaks at λ = {grid2[Eu2.argmax()]:.1f}; " + f"the low-demand market is closed for λ ≥ {grid2[n_lo == 0].min():.1f}") +``` + +这个公式也解释了那个驼峰：每市场的平均失业是两个阈值之间的差距，再乘以跨越该差距的概率。 + +在高 $\lambda$ 处，低需求市场已关闭，$\bar n(s_{\text{low}}) = 0$，此时差距就是 $\bar y(s_{\text{high}})$，它随 $\lambda$ 下降而上升。 + +一旦 $\lambda$ 低到足以使低需求市场保留一些工人，$\bar n(s_{\text{low}})$ 随 $\lambda$ 下降而上升的速度就会快于 $\bar y(s_{\text{high}})$，差距因而收窄。所以每市场的失业人数在低需求市场停止关闭的那一点达到峰值，正如打印结果的第二行所示。 + +对于第4部分，劳动力在一半的期数内为 $\bar n(s_{\text{low}})$，在另一半的期数内为 $\bar y(s_{\text{high}})$，所以 $E[y] = \tfrac12 [\bar n(s_{\text{low}}) + \bar y(s_{\text{high}})]$，失业率为 + +$$ +\frac{E[u]}{E[y]} = (1 - \rho)\, +\frac{\bar y(s_{\text{high}}) - \bar n(s_{\text{low}})}{\bar y(s_{\text{high}}) + \bar n(s_{\text{low}})} += (1-\rho)\, \frac{r - 1}{r + 1} , +\qquad r = \frac{\bar y(s_{\text{high}})}{\bar n(s_{\text{low}})} . +$$ + +它随 $r$ 上升而朝着 $1 - \rho$ 增大，当低需求市场关闭时达到该值。 + +对于第5部分，低状态下的平均就业为 $\bar n(s_{\text{low}})$，而高状态下的平均就业以概率 $\rho$ 为 $\bar y(s_{\text{high}})$，以概率 $1 - \rho$ 为 $\bar n(s_{\text{low}})$（即经济上行的第一期），所以平均就业的比率为 + +$$ +\mathcal{E} = \frac{E[n \mid s_{\text{high}}]}{E[n \mid s_{\text{low}}]} = \rho\, r + 1 - \rho . +$$ + +把 $r = (\mathcal{E} - 1 + \rho)/\rho$ 代入第4部分的失业率中，得到 + +$$ +\frac{E[u]}{E[y]} = (1 - \rho)\,\frac{\mathcal{E} - 1}{\mathcal{E} - 1 + 2\rho} , +$$ + +它随 $\mathcal{E}$ 上升而增大。 + +只有 `R` 的构造发生了变化：在整数网格上，第一名工人的边际产品 $s\,\alpha$ 是有限的，一个空市场不支付任何工资。工人在边际上现在远处变得廉价，所以我们使用一个更大的网格，并围绕使一个持有 $\mu$ 名工人的市场恰好停止吸引到来者的那个搜寻价值来确定 $\lambda^*$ 的区间，按照 {ref}`lps_ex_cost` 的记号，该值为 $\beta \max_s (Pv)_s$。 + +```{code-cell} ipython3 +def power_R(s, y, α): + "The marginal product s α n^(α-1) of the technology s n^α; R(s, 0) is reset to 0." + return s[:, None]*α*np.maximum(y[None, :], 1)**(α - 1) + +def solve_two_state(m, μ): + "The equilibrium, bracketed around the value of search of an economy at rest." + λ_rest = m.β*(m.P @ np.linalg.solve(np.eye(2) - m.β*m.P, m.R[:, μ])).max() + r = market_outcomes(m, equilibrium_λ(m, μ, lo=0.5*λ_rest, hi=3*λ_rest)) + E_n = (r['ψ']*r['n']).sum(axis=1)/r['ψ'].sum(axis=1) # mean employment by state + return r, E_n + +θ_k, θ_n = 0.19, 0.58 +α_AV, s_AV = θ_n/(1 - θ_k), 2.12**(1/(1 - θ_k)) +print(f"like AV: α = {α_AV:.3f}, s_high = {s_AV:.3f}") +economies = [('linear', two, None)] +economies += [(f'α = {α}', two_state_model(y_max=3000, R=power_R, α=α), α) + for α in (0.4, 0.6, 0.75)] +economies += [('like AV', two_state_model(s_high=s_AV, y_max=3000, R=power_R, α=α_AV), + α_AV)] + +print(f"{'technology':>12}{'ratio of n':>12}{'ρr + 1 - ρ':>12}{'frictionless':>14}" + f"{'u rate':>9}{'identity':>10}") +for name, m, α in economies: + r, E_n = solve_two_state(m, μ) + ratio, r_ratio = E_n[1]/E_n[0], r['y_bar'][1]/r['n_bar'][0] + frictionless = (f"{(m.s[1]/m.s[0])**(1/(1 - α)):>14.2f}" if α is not None + else f"{'corner':>14}") + print(f"{name:>12}{ratio:>12.2f}{ρ_2*r_ratio + 1 - ρ_2:>12.2f}{frictionless}" + f"{100*r['unemployment']/r['workforce']:>8.2f}%" + f"{100*(1 - ρ_2)*(ratio - 1)/(ratio - 1 + 2*ρ_2):>9.2f}%") +``` + +恒等式 $\mathcal{E} = \rho r + 1 - \rho$ 以及失业率公式在每个经济体中都成立，正如各列所示。 + +无摩擦那一列就是取 $\theta_k = 0$ 和 $\theta_n = \alpha$ 时的 {eq}`lps_av_ratio`：使两个状态下的边际产品 $s\,\alpha\, n^{\alpha-1}$ 相等，得到 $n_{\text{high}}/n_{\text{low}} = (s_{\text{high}}/s_{\text{low}})^{1/(1-\alpha)}$。 + +那个类似阿尔瓦雷斯和维拉谢尔托模型的经济体，其无摩擦比率与他们带有资本的技术相同，约为$26$，因为把资本优化掉之后，$z\, k^{\theta_k} n^{\theta_n}$ 就变成了 $z^{1/(1-\theta_k)} n^{\theta_n/(1-\theta_k)}$ 的一个倍数。那种仅含劳动的形式才是此处恰当的比较对象，因为在本模型中摩擦仅作用于劳动。 + +对于线性函数而言，无摩擦基准是一个角点解，而且差点就不是了。令 $2(1 - n_{\text{high}}/N) = 1 - n_{\text{low}}/N$ 且 $n_{\text{high}} + n_{\text{low}} = 2\mu$ 相等，得到 $n_{\text{low}} = (4\mu - N)/3$，所以每当 $\mu \le N/4$ 时低需求市场就会关闭，而这恰好就是本讲座的 $\mu = 50$。 + +```{code-cell} ipython3 +N = 200 # the capacity of the two-state economy +for μ_f in (50, 55, 60): + n_low = max((4*μ_f - N)/3, 0.0) + ratio = (2*μ_f - n_low)/n_low if n_low > 0 else np.inf + print(f"μ = {μ_f}: frictionless n_low = {n_low:.1f}, ratio {ratio:.1f}") +``` + +所以在 $\mu = 50$ 处，无摩擦比率为无穷大，在略高于该值处仍然很大。 + +在每个经济体中，该模型的反应都远小于其无摩擦基准，这正是一期移动摩擦所应有的表现。一个无摩擦经济体会不断移动工人，直到各市场之间的边际产品相等为止；而在这里，工人只移动到使到达的价值等于 $\lambda$ 为止，到来在 $\bar y(s_{\text{high}})$ 处停止，因为需求可能会回落，而一次经济上行需要一期时间才能被完全满足。 + +把同类情形相比较，就是最后一行：阿尔瓦雷斯和维拉谢尔托的生产单位在其技术与冲击之下得到约$26$的就业比率，而在本模型的一期移动摩擦之下，这一比率约为$5.6$，尽管冲击的持续性仍与他们的不同。 + +在 $s_{\text{high}} = 2$ 的各行之间，在摩擦保持不变的情况下，就业反应随 $\alpha$ 上升而增大，失业率也随之上升。这并非巧合，而且这是本讲座自身的发现，而非贝利、永奎斯特和萨金特的发现。 + +本模型中的失业就是工人花在移动上的时间，而移动所能获得的收益越大，移动的人就越多：在摩擦保持不变的情况下，劳动力流动性回报较高的经济体会表现出更多的重新配置，并记录下与之相伴的失业。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: lps_ex_undirected + +本练习探讨模型中的定向搜寻究竟在做什么。 + +{cite:t}`AlvarezVeracierto1999` 把它替换为**非定向**搜寻：一名搜寻者无法选择去哪里，每个市场都获得相同的流入量 $U$，它就是经济体每市场的失业人数。 + +1. 证明在非定向搜寻下，{eq}`lps_bellman` 中的 $\min$ 消失了，并说明它原本在实施哪一个经济学条件。 +1. 写出一个市场劳动力的转移规律，并证明在任何平稳分布下，流入量 $U$ 都等于平均流出量。在定向搜寻下，是否也成立同样的恒等式？ +1. 在定向搜寻下，{eq}`lps_equilibrium` 确定了 $\lambda$。在非定向搜寻下，$\lambda$ 必须满足什么条件？对一个每市场劳动力固定为 $\mu$ 的均衡，数一数未知量和条件的数目。 +1. 计算本讲座经济体在非定向情形下的均衡，$\mu/N = 1/4$。流入容量为 $N = 200$ 的各市场的流入量取整数过于粗略，所以我们以十分之一工人为单位计数：使用 $N = 2000$ 以及一个上限为 $2600$ 的网格，这就是本讲座经济体在十倍精细的劳动力网格上的版本。对流入量 $U = 1, 3, 5, 7, 9$ 和$10$，找出满足第3部分一致性条件的 $\lambda$ 值，以及每个值所服务的平均劳动力，并将平均劳动力对 $U$ 作图。一个具有给定 $\mu$ 的经济体有多少个均衡？在同一网格上，将 $\lambda$ 和失业率与定向搜寻在 $\mu/N = 1/4$ 处的结果进行比较。 +1. 解释为什么非定向搜寻在这里降低了搜寻的价值，以及为什么它也降低了失业。 +``` + +```{solution-start} lps_ex_undirected +:class: dropdown +``` + +对于第1部分，{eq}`lps_bellman` 中的 $\min$ 是由搜寻者之间的竞争所施加的限制，即一个市场的延续值不能超过 $\lambda$。一旦取消他们选择去向的能力，就没有什么能够实施这一限制了。 + +一名留下来的工人只是简单地获得工资以及他自己所在市场恰好带来的延续值， + +$$ +v(s, y) = \max\left\{\lambda,\; R(s, y) + + \beta \int v\big(s', y + U\big) f(s', s)\, ds'\right\} , +$$ + +该延续值可能高于或低于 $\lambda$，因为没有人能够据此采取行动。 + +对于第2部分，就业仍然是 $n(s,y) = \min\{\bar n(s), y\}$，未被雇用者离开，流入量处处相同，所以 + +$$ +y' = n(s, y) + U . +$$ + +在一个平稳分布下 $E[y'] = E[y]$，所以对各市场取平均，得到 + +$$ +U = E[y] - E[n(s,y)] = E[\,y - n(s,y)\,] : +$$ + +流入量等于平均流出量。 + +这是一个会计恒等式，在定向搜寻下也成立：在 {eq}`lps_transition` 的平稳分布处，到达被填充市场的工人等于离开被裁减市场的工人，在每一个 $\lambda$ 值处都成立，而不仅仅是在 $\lambda^*$ 处。 + +```{code-cell} ipython3 +print(f"{'λ':>8}{'E[y]':>9}{'outflow':>10}{'inflow':>9}") +y = model.y[None, :] +for λ in (4.0, 7.1, 10.0): + r = market_outcomes(model, λ) + y_next = np.clip(y, r['y_bar'][:, None], r['n_bar'][:, None]) + print(f"{λ:>8.3f}{r['workforce']:>9.2f}" + f"{(r['ψ']*np.maximum(y - y_next, 0)).sum():>10.4f}" + f"{(r['ψ']*np.maximum(y_next - y, 0)).sum():>9.4f}") +``` + +所以这个恒等式不可能是区分这两个模型的关键；真正的区别在于 $\lambda$ 是如何确定的。 + +对于第3部分，在非定向搜寻下，一名搜寻者会落入从不变分布中随机抽取的一个市场，所以搜寻的价值必须满足 + +$$ +\lambda = \beta \sum_{s,y} \psi(s, y)\, v(s, y) , +$$ + +即落入一个随机抽取的市场的贴现价值，是一个以市场为权重的平均值。 + +因此，一个人口固定的均衡有两个未知量，$\lambda$ 和 $U$，以及两个条件，即 $\mu = \sum_{s,y} \psi(s,y)\, y$ 和上面这个条件。 + +在定向搜寻下，$\min$ 使每个接收工人的市场对他们而言恰好值 $\lambda$，所以 $\lambda$ 不需要单独的一致性条件，$\mu$ 单独就通过一条向下倾斜的函数确定了它。而在这里，$\lambda$ 需要它自身的一个条件，没有任何机制使这一条件关于 $\lambda$ 单调。 + +对于第4部分，一个市场的就业阈值是使留下仍值 $\lambda$ 的最大劳动力水平，前提是下一期的劳动力将为 $n(s, y) + U$。 + +不变分布是唯一的，因为一个经过最差需求状态的市场，无论从哪里出发，最终都会持有 $\bar n(s_1) + U$ 名工人，所以我们通过迭代来求解它。 + +```{code-cell} ipython3 +def undirected_market(model, λ, U, tol=1e-10, max_iter=100_000): + """A market that receives U searchers every period, whether it wants them or not. + Returns the implied value of search, the mean workforce, and n̄(s).""" + P, R, β, y = model.P, model.R, model.β, model.y + n_s, n_y = R.shape + up = np.minimum(y + U, y[-1]) # next workforce if nobody leaves + v = np.full(R.shape, λ) + for _ in range(max_iter): + v_new = np.maximum(λ, R + β*(P @ v)[:, up]) + if np.max(np.abs(v_new - v)) < tol: + break + v = v_new + else: + raise RuntimeError(f"the value function did not converge at λ = {λ}") + n_bar = last_at_least(R + β*(P @ v_new)[:, up], λ) + if n_bar.max() + U > y[-1]: + raise GridTooSmall(f"n̄ + U passes the top of the grid at λ = {λ}") + # iterate on the distribution of (s, y) under y' = min(y, n̄(s)) + U + to = (np.arange(n_s)[:, None]*n_y + np.minimum(y[None, :], n_bar[:, None]) + U).ravel() + ψ = np.full(n_s*n_y, 1/(n_s*n_y)) + for _ in range(max_iter): + ψ_new = (P.T @ np.bincount(to, weights=ψ, minlength=n_s*n_y).reshape(n_s, n_y)).ravel() + if np.abs(ψ_new - ψ).sum() < tol: + break + ψ = ψ_new + else: + raise RuntimeError(f"the distribution did not converge at λ = {λ}") + ψ = ψ_new.reshape(n_s, n_y) + return β*(ψ*v_new).sum(), (ψ*y).sum(), n_bar +``` + +事实证明，隐含的搜寻价值与 $\lambda$ 之间的差距在两个根之间为正，在两根之外为负，所以对每个流入量，我们在一个使其为正的值的两侧各寻找一个根。 + +在这个网格上，定向搜寻的 $\lambda^*$ 在每一个存在根的流入量处都是这样一个值；若某次区间选取失败，来自SciPy的 `brentq` 会报错停止。 + +```{code-cell} ipython3 +def consistent_λs(model, U, λ_mid, lo=0.1, hi=12.0): + "The roots of λ = β Σ ψ v below and above λ_mid, with the mean workforce of each." + gap = lambda λ: undirected_market(model, λ, U)[0] - λ + roots = (brentq(gap, lo, λ_mid, xtol=2e-3), brentq(gap, λ_mid, hi, xtol=2e-3)) + return [(λ, undirected_market(model, λ, U)[1]) for λ in roots] + +N_fine = 2000 # the lecture's economy, in tenths of a worker +m_fine = create_model(N=N_fine, y_max=13*N_fine//10) +λ_dir = equilibrium_λ(m_fine, N_fine//4) +r_dir = market_outcomes(m_fine, λ_dir) + +locus = {U: consistent_λs(m_fine, U, λ_dir) for U in (1, 3, 5, 7, 9)} +gaps_10 = [undirected_market(m_fine, λ, 10)[0] - λ for λ in np.arange(6.0, 8.6, 0.5)] +print(f"at U = 10 the largest gap on a grid of λ is {max(gaps_10):.4f}") +``` + +这些流入量中的每一个都有两个解，每个解各自服务其自身的人口；而在 $U = 10$ 时则没有解。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Undirected search, the populations served by the solutions at each inflow + name: fig-lps-undirected +--- +Us = np.array(list(locus)) +scale = 200/N_fine # back to the lecture's units +fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4)) +for k, label in ((0, r'crowded: lower $\lambda$'), (1, r'sparse: higher $\lambda$')): + ax.plot(scale*Us, [scale*locus[U][k][1] for U in Us], 'o-', lw=2, label=label) +ax.axhline(50, color='k', lw=0.8, ls='--', label=r'$\mu = 50$') +ax.set_xlabel('inflow $U$ per market of capacity 200') +ax.set_ylabel(r'workforce per market $\mu$') +ax.legend() +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +在给定的流入量下，这两个解属于*不同的*人口规模：一个拥挤的经济体，其搜寻价值较低；一个稀疏的经济体，其搜寻价值较高。沿着每一条分支，人口规模随流入量单调变化，两条分支在 $U = 9$ 和 $U = 10$ 之间相遇并折返，它们各自所覆盖的 $\mu$ 范围互不重叠。 + +所以在这个标定中，每个人口规模恰好对应一个非定向均衡 $(\lambda, U)$，而它所需的流入量随 $\mu$ 上升而增大，直到折返点，之后又下降。 + +这个折返点也解释了为何 $N = 200$ 的网格不够用：最大的均衡流入量略低于容量为200的每个市场一名工人，所以即便是那个网格上的 $U = 1$ 也已经超出了它。本讲座的经济体是最接近 $\mu = 50$ 的那一点。 + +```{code-cell} ipython3 +U_eq, k_eq = min(((U, k) for U in locus for k in (0, 1)), + key=lambda Uk: abs(locus[Uk[0]][Uk[1]][1] - N_fine//4)) +λ_und, y_und = locus[U_eq][k_eq] +print(f"undirected: U = {U_eq}, λ = {λ_und:.3f}, workforce {scale*y_und:.2f}, " + f"unemployment rate {100*U_eq/y_und:.2f}%") +print(f"directed: λ* = {λ_dir:.3f}, workforce {scale*r_dir['workforce']:.2f}, " + f"unemployment rate {100*r_dir['unemployment']/r_dir['workforce']:.2f}%") +``` + +它位于拥挤的那条分支上，靠近折返点，非定向搜寻给出的搜寻价值和失业率都比定向搜寻更低。 + +对于第5部分，比较各个就业阈值。 + +```{code-cell} ipython3 +n_bar_und = undirected_market(m_fine, λ_und, U_eq)[2] +n_bar_low, _ = thresholds(m_fine, worker_value(m_fine, λ_und)[0], λ_und) +print("n̄(s), undirected: ", n_bar_und) +print("n̄(s), directed, at its own λ*: ", r_dir['n_bar']) +print("n̄(s), directed, at the undirected λ: ", n_bar_low) +``` + +非定向搜寻降低了搜寻的价值，因为搜寻者不再能够避开不想要他们的市场：在定向搜寻下，每位搜寻者都前往到达价值恰好等于 $\lambda$ 的市场，而在这里，许多人会落入正在裁减工人、或即将裁减工人的市场。 + +由于搜寻价值较低，那些所在市场需求已经下降的工人离开得更慢：在每个需求状态下，就业阈值都更高，而除了最低的需求状态之外，大部分差距正是定向搜寻在相同的较低 $\lambda$ 下本会给出的结果，正如最后一行所示。所以各市场保留了更多工人，经济体以更小的搜寻者流量——即其失业——维持了它的人口规模。 + +注意，对一个给定的流入量而言，从感知的 $\lambda$ 到隐含值 $\beta \sum \psi v$ 的映射，是一个真正从感知值映射到搜寻实际价值的映射，这与 {ref}`lps_learning` 中的试探过程不同。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: lps_ex_phillips + +该模型没有总体冲击，但卢卡斯和普雷斯科特在其结论部分的开头却论证说，该模型的机制"与关于所观察到的菲利普斯曲线那种以预期为基础的常见解释是一致的"： + +> *总需求的一次未被预期到的变化（即 $E(s'|s)$ 的变化），会使失业与工资变动朝相反的方向移动。* + +在本讲座的均衡处检验这一点，从 $\lambda^*$ 处的不变分布出发，该分布描述的是上一期的经济状况。 + +在本期，一批随机选取的市场抽到的需求状态比每个人都知道的运动规律本应给出的状态低一档，其余市场照常抽取；选取的比例使 $\log s$ 的均值下降 $\Delta$。 + +没有人预见到这一点，所以阈值 $\bar n(s)$ 和 $\bar y(s)$ 保持不变，$\lambda$ 也保持在 $\lambda^*$。 + +1. 对 $\Delta = 0.01, 0.02, 0.04$，以及相同幅度的 $\log s$ 均值上升，计算本期的失业率和平均工资。 +1. 将失业率对平均工资的百分比变化作图。解释这一形状。 +1. 卢卡斯和普雷斯科特补充说，如果这类变动"是反复出现的事件，正如现实中那样，那么这一事实就会被纳入工人所面对的最大化问题之中"。这会使计算中的哪些部分发生变化？ +``` + +```{solution-start} lps_ex_phillips +:class: dropdown +``` + +这次意外冲击只改变了本期适用的转移矩阵，所以我们用各市场已有的阈值将上一期的情形延续下来，并从被改动过的矩阵中抽取本期的需求。 + +```{code-cell} ipython3 +def demand_surprise(model, r, Δ): + """This period's unemployment rate and mean wage when mean log demand moves by Δ: + a share |Δ|/notch of markets draws a state one notch away from the usual draw.""" + n_s, y = len(model.s), model.y + notch = np.log(model.s[1]/model.s[0]) + step = int(np.sign(Δ)) + move = np.zeros((n_s, n_s)) # shift a state, within the grid + move[np.arange(n_s), np.clip(np.arange(n_s) + step, 0, n_s - 1)] = 1 + P_now = (1 - abs(Δ)/notch)*model.P + abs(Δ)/notch*(model.P @ move) + y_carried = np.clip(y[None, :], r['y_bar'][:, None], r['n_bar'][:, None]) + ψ_now = sum(np.outer(P_now[i], np.bincount(y_carried[i], weights=r['ψ'][i], + minlength=len(y))) + for i in range(n_s)) + n, w = r['n'], r['w'] + rate = (ψ_now*(y[None, :] - n)).sum()/(ψ_now*y[None, :]).sum() + return rate, (ψ_now*n*w).sum()/(ψ_now*n).sum() + +r_star = market_outcomes(model, equilibrium_λ(model, μ)) +base_rate, base_wage = demand_surprise(model, r_star, 0.0) +print(f"no surprise: unemployment rate {100*base_rate:.2f}%, mean wage {base_wage:.4f}") +print(f"{'Δ':>7}{'u rate':>9}{'wage change':>13}{'per unit of Δ':>15}") +points = [(100*base_rate, 0.0)] +for Δ in (-0.04, -0.02, -0.01, 0.01, 0.02, 0.04): + rate, mean_wage = demand_surprise(model, r_star, Δ) + change = 100*(mean_wage/base_wage - 1) + points.append((100*rate, change)) + print(f"{Δ:>7}{100*rate:>8.2f}%{change:>12.2f}%{change/(100*Δ):>15.2f}") +``` + +无意外冲击这条基准线重现了均衡，这正是应有的结果。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: An unanticipated shift in demand moves unemployment and wages in opposite directions + name: fig-lps-phillips +--- +u_pts, w_pts = np.array(sorted(points)).T +fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4)) +ax.plot(u_pts, w_pts, 'o-', lw=2) +ax.axhline(0, color='k', lw=0.8) +ax.set_xlabel('unemployment rate (%)') +ax.set_ylabel('change in the mean wage (%)') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +失业和工资朝相反方向移动，正如卢卡斯和普雷斯科特所说，这些点描绘出一条向下倾斜、在均衡处带有一个拐点的曲线：一条菲利普斯曲线。 + +需求意外下降会把部分市场推到其就业阈值以下，于是它们裁减工人，失业大幅上升。工资也下降，但降幅小于需求降幅，因为裁减工人的市场削减了就业，这提高了留下者的边际产品。 + +需求的意外上升只能通过阻止本来会发生的分离来降低失业，而这样的分离本就为数不多；与此同时，每个市场的工资都随其需求上升，大致是一比一的关系，而且在这一期内不可能有新工人到来把工资压低。 + +所以这条曲线在失业率较低处陡峭，在失业率较高处平坦。 + +符号和拐点并不依赖于网格，但失业反应的大小却依赖于网格：在七状态链上，一档大约相当于 $\log s$ 的五分之一，所以给定的平均对数需求下降会集中作用于少数几个市场，每个都受到重创；而在更精细的链上，相同的下降幅度对失业的提升作用更小。 + +对于第3部分，这个计算之所以保持阈值和 $\lambda$ 不变，是因为没有人预期到这一变动。如果这类变动反复出现，工人就会把它们纳入自己所使用的转移规律之中，贝尔曼方程就会随之改变，$\bar n$、$\bar y$ 和 $\lambda^*$ 也会随之改变；卢卡斯和普雷斯科特把这一点留作"未来研究中一项非平凡的进一步工作"。 + +{doc}`phillips_two_stories` 把菲利普斯曲线的预期论述及其背后的自然率假说，一直追溯到数据当中。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: lps_ex_planner + +{ref}`lps_efficiency` 证明了均衡求解了计划者的问题 {eq}`lps_planner`。用数值方法进行检验，看看它能说明什么、不能说明什么。 + +1. 在 $\lambda^*$ 处，通过价值函数迭代求解 {eq}`lps_planner`，在整个网格上选择 $y'$，验证 $W(s, y) - W(s, y-1) = v(s, y)$，并验证计划者对 $y'$ 的选择就是 {eq}`lps_transition`。 +1. 现在让移动消耗资源：每位离开的工人花费 $c = 2$。证明 {ref}`lps_ex_cost` 中的均衡正是一个面对该项成本的计划者的配置，该计划者为每位被释放的工人记入 $\lambda - c$，为每位被带入的工人收取 $\lambda$。这对 {ref}`lps_ex_cost` 中较低的剩余意味着什么？ +1. 将均衡处每工人的稳态剩余，与保持 $\mu = 50$ 的两种替代方案进行比较：一项对移动的小额补贴，$c = -0.1$ 和 $c = -0.2$；以及一个更有耐心的计划者会选择的阈值，取 $\beta' = 0.95$ 和 $0.99$，并选取 $\lambda$ 使每市场工人数保持为 $\mu$。均衡是否使稳态剩余最大化？将答案与 {ref}`lps_efficiency` 相调和。 +``` + +```{solution-start} lps_ex_planner +:class: dropdown +``` + +对于第1部分，`planner_value` 求解 {eq}`lps_planner`，对于第2部分，释放的记入值降为 $\lambda - c$。流量项不依赖于 $W$，所以我们只计算一次。 + +```{code-cell} ipython3 +def planner_value(model, λ, c=0.0, tol=1e-10, max_iter=10_000): + """W(s, y) = max over y' of Φ(s, min(y, y')) + credit for releases - charge for + arrivals + β E W(s', y'), with releases credited at λ - c and arrivals charged λ.""" + P, R, β, y = model.P, model.R, model.β, model.y + Φ = np.cumsum(R, axis=1) + moved = y[:, None] - y[None, :] # workers released, for each (y, y') + flow = (Φ[:, np.minimum(y[:, None], y[None, :])] + + np.where(moved > 0, (λ - c)*moved, λ*moved)) + W = np.zeros(R.shape) + for _ in range(max_iter): + value = flow + β*(P @ W)[:, None, :] + W_new = value.max(axis=2) + if np.max(np.abs(W_new - W)) < tol: + return W_new, y[value.argmax(axis=2)] + W = W_new + raise RuntimeError(f"no convergence in {max_iter} iterations at λ = {λ}") + +def check_planner(model, λ, c=0.0): + "Compare the planner's marginal values and policy with the equilibrium." + r = market_outcomes(model, λ, c) + W, y_choice = planner_value(model, λ, c) + law = np.clip(model.y[None, :], r['y_bar'][:, None], r['n_bar'][:, None]) + print(f"c = {c}, λ = {λ:.3f}: largest |ΔW - v| = " + f"{np.abs(np.diff(W, axis=1) - r['v'][:, 1:]).max():.1e}, " + f"policy equals the transition law: {np.array_equal(y_choice, law)}") + +λ_0 = equilibrium_λ(model, μ) +check_planner(model, λ_0) +``` + +对于第2部分，用资源成本进行同样的检验。 + +```{code-cell} ipython3 +λ_2 = equilibrium_λ(model, μ, 2.0, lo=λ_0) +check_planner(model, λ_2, 2.0) +``` + +在有资源成本的情形下，均衡正是针对那项代价更高的移动技术而言计划者的配置：{ref}`lps_efficiency` 的论证在以 $\lambda - c$ 作为释放记入值的情形下仍然成立，而资源成本会计入剩余之中。 + +所以 {ref}`lps_ex_cost` 中在有资源成本时发现的较低剩余，是较差技术所付出的代价，而均衡在这种情况下已经做到了最好。返还式税收以完全相同的方式改变决策，却不消耗任何东西，所以技术仍然是自由放任下的那种，而计划者针对它所选择的是自由放任的配置，于是被征税的均衡就是被扭曲的：它较低的剩余是一种效率损失。 + +对于第3部分，补贴就是负的 $c$，一个更有耐心的计划者的阈值来自用 $\beta'$ 替代 $\beta$ 的工人问题。 + +```{code-cell} ipython3 +def steady_state(model, policy, λ): + """Steady-state surplus, unemployment and workforce per market of model when its + markets follow the thresholds that the worker's problem in policy gives at λ.""" + n_bar, y_bar = thresholds(policy, worker_value(policy, λ)[0], λ) + ψ = stationary_distribution(model, n_bar, y_bar) + y = model.y[None, :] + n = np.minimum(y, n_bar[:, None]) + return ((ψ*np.take_along_axis(np.cumsum(model.R, axis=1), n, axis=1)).sum(), + (ψ*(y - n)).sum(), (ψ*y).sum()) + +r_0 = market_outcomes(model, λ_0) +print(f"{'':>24}{'surplus per worker':>20}{'u rate':>9}{'workforce':>11}") +print(f"{'equilibrium':>24}{r_0['surplus']/r_0['workforce']:>20.5f}" + f"{100*r_0['unemployment']/r_0['workforce']:>8.2f}%{r_0['workforce']:>11.2f}") +for c in (-0.1, -0.2): + r = market_outcomes(model, equilibrium_λ(model, μ, c, lo=2.0, hi=λ_0), c) + print(f"{f'subsidy {-c}':>24}{r['surplus']/r['workforce']:>20.5f}" + f"{100*r['unemployment']/r['workforce']:>8.2f}%{r['workforce']:>11.2f}") +for β_p in (0.95, 0.99): + patient = model._replace(β=β_p) + λ_p = bisect(lambda λ: steady_state(model, patient, λ)[2] <= μ, 0.01, 2000.0) + s_p, u_p, y_p = steady_state(model, patient, λ_p) + print(f"{f'patient planner, β = {β_p}':>24}{s_p/y_p:>20.5f}" + f"{100*u_p/y_p:>8.2f}%{y_p:>11.2f}") +``` + +这两种替代方案都把每工人稳态剩余提升到高于均衡水平，而且都伴随着更多的重新配置和更多的失业。所以均衡并不使稳态剩余最大化，而 {ref}`lps_efficiency` 也从未说过它会这样做。 + +该定理所比较的是从均衡自身的分布出发的现值，而迁移到这些稳态之一的过程本身会消耗剩余：更多工人处于转移途中，意味着现在就要损失他们一期的产出，以换取之后才会到来、并被贴现的收益。 + +一个以 $\beta' > \beta$ 贴现的计划者，会更看重那些较晚到来的收益，这正是其阈值会移动更多工人的原因；在不贴现的极限情形下，它会使稳态剩余最大化，这正是黄金法则的对应情形，而均衡正是修正黄金法则的对应情形。 + +{ref}`lps_ex_cost` 中的稳态比较与该定理在成本较大时所指向的方向相同，但这并非该定理所蕴含的：一项小额补贴同样会使经济体偏离计划者的配置，却提高了稳态剩余。 + +```{solution-end} +``` \ No newline at end of file