diff --git a/incoming/pattern-study/README.md b/incoming/pattern-study/README.md index 340a341e1..6f33b06da 100644 --- a/incoming/pattern-study/README.md +++ b/incoming/pattern-study/README.md @@ -1,6 +1,6 @@ # 패턴 연구 2026-10 -새 패턴 448개를 쉰여섯 갈래로 나눠 만들었어요. 1판에서 열세 갈래로 23개를 만들고, 2판에서 1판에 없던 아홉 갈래로 16개를, 3판에서 하나를, 4판에서 새 갈래인 직물로 하나를 더했어요. 5판은 새 패턴 없이 1판의 Euclid Pulse 를 다시 짰고, 6판은 세운 패널의 128줄을 위아래로 다 쓰는 패턴 하나를 더했어요. 7판은 또렷한 모양이 멀리 흘러가는 지도 칸에 패턴 하나를 더했어요. 8판은 새 갈래인 기계로 하나를 더했어요. 9판은 새 패턴 없이 1판의 Sprout 을 다시 짰어요. 10판은 세운 패널을 떨어지는 블록의 우물로 쓰는 패턴 하나를 더했어요. 11판은 여러 색이 꽤 멀리 흘러가는 지도 칸에 패턴 하나를 더했어요. 12판은 새 갈래인 천체로 하나를 더했어요. 13판은 새 패턴 없이 1판의 Glyph Rain 을 다시 짰어요. 14판은 절차가 바뀌기 전에 띄운 바퀴라서, 세운 패널의 높이를 다 떨어지는 폭포 하나를 더했어요. 15판은 바뀐 절차의 첫 판이라 열 갈래에 새 패턴을 하나씩, 모두 열 개를 더했어요. 도시와 음악 갈래는 그때 새로 열었어요. 16판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 바다와 곤충 갈래를 새로 열었어요. 17판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 전자 회로와 장난감 갈래를 새로 열었어요. 18판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 유리와 광물·결정, 놀이공원 갈래를 새로 열었어요. 19판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 부엌과 버섯·균사 갈래를 새로 열었어요. 20판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 새와 화학·실험 갈래를 새로 열었어요. 21판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 종이와 운동·경기 갈래를 새로 열었어요. 22판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 몸과 비행 갈래를 새로 열었어요. 23판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 무대·공연과 짐승 갈래를 새로 열었어요. 24판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 공사·건설과 도자기 갈래를 새로 열었어요. 25판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 농사·밭과 화산 갈래를 새로 열었어요. 26판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 얼음·극지와 미생물 갈래를 새로 열었어요. 27판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 철도와 필름·영화 갈래를 새로 열었어요. 28판은 주제 표가 수학 쪽으로 바뀐 첫 판이라 이름 있는 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했고, 수론 갈래를 새로 열었어요. 29판은 주제 표가 수학 여섯과 화장품 팝업 넷으로 나뉜 첫 판이라, 이름 있는 수학 대상 여섯과 화장품 매장 벽에 틀 질감 넷을 더했고, 위상·매듭과 화장품 팝업 갈래를 새로 열었어요. 30판도 같은 표로 돌아서 이름 있는 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩 더하고, 팝업 매장의 LED 벽에 틀 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 31판도 같은 표로 돌아서 이름 있는 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했고, 새 갈래는 열지 않았어요. 32판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽의 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 33판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 34판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 35판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 36판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 37판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 38판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 39판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 40판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 41판은 주제 표가 수학·추상 다섯과 할로윈 다섯으로 바뀐 첫 판이라, 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고 할로윈 갈래를 새로 열어 10월 31일에 틀 패턴 다섯을 넣었어요. 42판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 41판이 연 할로윈 갈래에 더했어요. 43판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 44판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 45판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 열 개 아래인 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 46판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 47판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 48판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 49판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 50판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 적은 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 51판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 52판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 적은 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 53판은 할로윈 몫이 쉬게 된 첫 판이라, 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했어요. 55판도 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했어요. [index.html](index.html) 을 브라우저로 열면 전부 한 장에서 돌아가요. 맨 위 지도에서 점을 누르면 그 패턴으로 가고, 카드의 슬라이더가 노브 넷이에요. 마음에 드는 것은 「코드 복사」로 가져가 Pattern Lab 의 CODE 칸에 붙여 넣으면 같은 그림이 나와요. 페이지는 파일 하나라서 바깥에서 받아 오는 것이 없어요. +새 패턴 458개를 쉰여섯 갈래로 나눠 만들었어요. 1판에서 열세 갈래로 23개를 만들고, 2판에서 1판에 없던 아홉 갈래로 16개를, 3판에서 하나를, 4판에서 새 갈래인 직물로 하나를 더했어요. 5판은 새 패턴 없이 1판의 Euclid Pulse 를 다시 짰고, 6판은 세운 패널의 128줄을 위아래로 다 쓰는 패턴 하나를 더했어요. 7판은 또렷한 모양이 멀리 흘러가는 지도 칸에 패턴 하나를 더했어요. 8판은 새 갈래인 기계로 하나를 더했어요. 9판은 새 패턴 없이 1판의 Sprout 을 다시 짰어요. 10판은 세운 패널을 떨어지는 블록의 우물로 쓰는 패턴 하나를 더했어요. 11판은 여러 색이 꽤 멀리 흘러가는 지도 칸에 패턴 하나를 더했어요. 12판은 새 갈래인 천체로 하나를 더했어요. 13판은 새 패턴 없이 1판의 Glyph Rain 을 다시 짰어요. 14판은 절차가 바뀌기 전에 띄운 바퀴라서, 세운 패널의 높이를 다 떨어지는 폭포 하나를 더했어요. 15판은 바뀐 절차의 첫 판이라 열 갈래에 새 패턴을 하나씩, 모두 열 개를 더했어요. 도시와 음악 갈래는 그때 새로 열었어요. 16판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 바다와 곤충 갈래를 새로 열었어요. 17판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 전자 회로와 장난감 갈래를 새로 열었어요. 18판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 유리와 광물·결정, 놀이공원 갈래를 새로 열었어요. 19판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 부엌과 버섯·균사 갈래를 새로 열었어요. 20판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 새와 화학·실험 갈래를 새로 열었어요. 21판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 종이와 운동·경기 갈래를 새로 열었어요. 22판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 몸과 비행 갈래를 새로 열었어요. 23판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 무대·공연과 짐승 갈래를 새로 열었어요. 24판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 공사·건설과 도자기 갈래를 새로 열었어요. 25판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 농사·밭과 화산 갈래를 새로 열었어요. 26판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 얼음·극지와 미생물 갈래를 새로 열었어요. 27판도 열 갈래에 하나씩 열 개를 더했고, 철도와 필름·영화 갈래를 새로 열었어요. 28판은 주제 표가 수학 쪽으로 바뀐 첫 판이라 이름 있는 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했고, 수론 갈래를 새로 열었어요. 29판은 주제 표가 수학 여섯과 화장품 팝업 넷으로 나뉜 첫 판이라, 이름 있는 수학 대상 여섯과 화장품 매장 벽에 틀 질감 넷을 더했고, 위상·매듭과 화장품 팝업 갈래를 새로 열었어요. 30판도 같은 표로 돌아서 이름 있는 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩 더하고, 팝업 매장의 LED 벽에 틀 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 31판도 같은 표로 돌아서 이름 있는 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했고, 새 갈래는 열지 않았어요. 32판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽의 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 33판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 34판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 35판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 36판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 37판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 38판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 39판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 40판도 수학 대상 여섯을 여섯 갈래에 하나씩, 매장 벽 질감 넷을 화장품 팝업 갈래에 더했어요. 41판은 주제 표가 수학·추상 다섯과 할로윈 다섯으로 바뀐 첫 판이라, 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고 할로윈 갈래를 새로 열어 10월 31일에 틀 패턴 다섯을 넣었어요. 42판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 41판이 연 할로윈 갈래에 더했어요. 43판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 44판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩 더하고, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 45판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 열 개 아래인 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 46판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 47판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 48판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 49판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 50판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 적은 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 51판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 밤에 틀 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 52판도 같은 표로 돌아서 수학 대상 다섯을 패턴이 적은 다섯 갈래에 하나씩, 할로윈 그림 다섯을 할로윈 갈래에 더했어요. 53판은 할로윈 몫이 쉬게 된 첫 판이라, 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했어요. 54판도 수학 대상 열 개를 패턴이 적은 열 갈래에 하나씩 더했어요. 55판도 수학 대상 열 개를 열 갈래에 하나씩 더했어요. [index.html](index.html) 을 브라우저로 열면 전부 한 장에서 돌아가요. 맨 위 지도에서 점을 누르면 그 패턴으로 가고, 카드의 슬라이더가 노브 넷이에요. 마음에 드는 것은 「코드 복사」로 가져가 Pattern Lab 의 CODE 칸에 붙여 넣으면 같은 그림이 나와요. 페이지는 파일 하나라서 바깥에서 받아 오는 것이 없어요. 패널은 세로로 서요. 64 LED 너비에 128 LED 높이가 기본이라서 모든 패턴의 머리에 `@matrix 64x128` 이 있어요. 레포의 패널 설정은 그대로예요. `shared/constants.json` 의 `PANEL_GEOM_DEFAULT` 는 `128x64_SINGLE` 이고, 패턴이 가로세로를 바꾼 판을 적으면 펌웨어의 `firmware/patternflow/src/core_canvas.h` 가 90도 돌려 패널을 꽉 채워요. 1판 23개는 처음에 가로 128×64 로 만들었다가 2판에서 세로로 다시 짰어요. @@ -705,6 +705,21 @@ | [Four-Vertex Theorem](patterns/four-vertex.js) | 선·궤적 | 세로로 선 매끈한 닫힌 곡선이 천천히 모양을 바꾸면, 곡률 중심이 그리는 축폐선이 그 안에서 금빛 별로 돌고, 별의 첨점은 곡률이 가장 크거나 작은 흰 꼭짓점과 점선으로 이어져 둘씩 태어나고 사라져도 넷 아래로는 줄지 않아요. K3 은 반지름을 휘는 물결의 수, K4 는 곡선이 오목하게 패이는 정도이고, 단추를 누르면 다음 물결이 잠깐 부풀어 제비꼬리가 한꺼번에 열렸다 닫혀요. | | [Euler's Elastica](patterns/elastica.js) | 물리·스프링 | 양 끝이 핀에 걸린 120 LED 짜리 가는 막대가 천천히 눌렸다 풀리며 오일러의 탄성 곡선 가족을 다 지나가요. 살짝 휜 활에서 아치와 직각 엘라스티카를 지나, 두 끝이 만나는 물방울과 끝이 서로 지나치는 고리까지 가요. 위의 진자는 막대를 달리는 구슬 자리의 막대와 늘 나란히 흔들리고, 아래에서는 그 진자의 궤도가 상평면을 돌아요. K3 은 반파 수 1~4 이고, K4 는 풀 때 어디까지 돌아오는지예요. 단추를 누르면 하중이 멈춰 한 모양이 서 있어요. | +### 54판 + +| 패턴 | 갈래 | 한 줄 | +| --- | --- | --- | +| [Nodal Domains](patterns/nodal-domains.js) | 노이즈·흐름 | 같은 파장의 평면파 40개를 무작위 방향으로 겹친 베리의 무작위 파동을 0 근처에서 잘라, 부호가 같은 이웃끼리 이어진 마디 영역마다 납작한 한 색을 칠해요. 0 위의 영역은 작을 때 장미색이다가 커지면 주황을 지나 금색이 되고 0 아래는 파랑 보라에서 청록으로 가며, 가장 큰 영역은 옅은 하늘색으로 패널을 가로지르고, 파동마다 위상이 제 빠르기로 돌아서 안장점에서 영역이 이어지고 끊길 때마다 흰 불꽃이 튀어요. K3 은 파장, K4 는 자르는 높이예요. | +| [Strange Eigenmode](patterns/strange-eigenmode.js) | 시뮬레이션 | 한 변 1 인 토러스에 푼 물감을 반 주기는 행이 옆으로, 반 주기는 열이 위아래로 미끄러지는 피어험버트의 사인 흐름이 줄무늬로 늘이고 접는데, 매 프레임 밝기를 되돌려 놓아서 보라에서 옅은 청록으로 빛나는 줄무늬가 3초마다 똑같은 모양으로 돌아오는 동안 참 세기는 주기마다 39% 로 줄어요. K3 은 젓는 세기, K4 는 확산이고, K1 을 누르면 새 물감을 부어 다시 저어요. | +| [Pearcey Cusp](patterns/pearcey-cusp.js) | 물결·간섭 | LED 마다 피어시 적분을 셈한 파동장이 패널 위쪽의 밝은 초점에서 아래로 첨점 모양으로 열리고, 그 안에 밝은 점 격자와 정확한 영점 76개가 서는데, 영점은 위상이 감기는 쪽에 따라 분홍과 호박색 점으로 찍히고 물마루는 빛이 가는 대로 아래로 흘러요. K3 은 파수를 올려 무늬를 광선의 첨점 곡선 쪽으로 촘촘하게 하고, K4 는 t³ 항으로 첨점을 옆으로 기울여요. | +| [STIT Tessellation](patterns/stit-tessellation.js) | 보로노이·셀 | 패널이 한 칸에서 시작해, 칸마다 둘레에 비례하는 빠르기로 기다리다 그 칸을 지나는 무작위 직선에 둘로 잘리고, 새 선분은 하얗게 번쩍이며 옛 선분에 T 자로 닿을 뿐 가로지르지 않아요. 칸이 제 밀도에 이르면 화면이 떠도는 한 점으로 다이빙하고, 잘림이 같은 법칙을 되찾을 만큼만 이어져서 칸은 끝없이 다가오며 갈라져요. K3 은 축을 따르는 선의 몫이라 1 이면 몬드리안 과정이고, K4 는 패널에 서는 칸의 수예요. | +| [Arcsine Law](patterns/arcsine-law.js) | 데이터 그림 | 공정한 동전 던지기 걸음 48개가 열마다 한 걸음에 한 줄씩 내려오며, 위로 간 걸음은 밝고 아래로 간 걸음은 어두워서 동전은 잡음처럼 흩어지는데, 0 위면 호박색이고 0 아래면 하늘색인 색은 대부분의 열에서 한 가지로 길게 이어져요. 126걸음이 끝나면 열마다 호박색 칸이 위로 떠올라 모이고 열이 그 수대로 줄을 서서 두 색의 경계가 아크사인 분위 곡선을 그리고, 옆의 히스토그램은 지금까지의 모든 걸음을 모아 레비의 U 자 법칙으로 다가가요. K3 은 줄 세우는 통계를 고르고, K4 는 걸음의 치우침이에요. | +| [Størmer Trap](patterns/stormer-trap.js) | 입자 | 패널을 가로질러 눕힌 자기 쌍극자의 장에서 대전 입자 48개가 위아래 끝까지 서는 희미한 자기력선 고리를 감아 돌며 가운데 가까운 거울점에서 되튀고, 양전하는 한쪽으로 음전하는 반대쪽으로 축을 돌며 천천히 떠돌다가 손실 원뿔에 든 몇 개만 가운데 작은 구에 닿아 번쩍이는데, K3 은 에너지를, K4 는 적도에서의 피치각을 정해요. | +| [Stable Marriage](patterns/stable-marriage.js) | 알고리즘 | 위 16명과 아래 16명 사이의 지연 수락에서 청혼마다 128줄을 가로지르는 선이 날아가 받아들여지면 남고 밀려나면 가운데서 끊기며, 위쪽 안정 매칭이 서면 아래쪽이 같은 목록으로 청혼해서 선 끝의 순위 색이 뒤집히고 두 안정 매칭이 다른 쌍만 번갈아 바뀌는데, K3 은 모두가 한 순위를 나누는 정도, K4 는 아예 받지 않는 상대의 몫이에요. | +| [Smale Horseshoe](patterns/smale-horseshoe.js) | 프랙탈 | 가운데 정사각형을 옆으로 누르고 위로 늘인 띠를 꺾어 다시 덮는 스메일 말굽이 한 번씩 접힐 때마다, 위로 오르는 금빛 가닥과 내려가는 하늘색 가닥 32개가 정사각형을 세로로 가로지르고 위에서는 겹친 아치로, 아래에서는 겹친 U 자로 돌아요. 가로 띠와 겹치는 곳이 하얗게 빛나는 불변 칸토어 집합이고, K3 은 세로 가닥과 가로 띠 가운데 무엇을 보일지, K4 는 한 번 접을 때 누르는 비율 λ 예요. | +| [Ulam Sequence](patterns/ulam-sequence.js) | 수론 | 울람 수열을 1초에 80 항씩 세면서 코드가 스스로 찾은 숨은 진동수 α 로 각 항을 원에 감아 가로로 펼치면, 항들은 cos(αa) < 0 인 절반에만 두 봉우리로 쌓이고 다른 절반은 분홍으로 표시한 2, 3, 47, 69 넷만 남긴 채 비어요. 새 항은 아래 더미로 떨어지고, K3 은 씨앗을 바꾸고 K4 는 α 를 비틀어 띠를 감아 버려요. | +| [Weaire-Phelan](patterns/weaire-phelan.js) | 공간·원근 | A15 격자의 보로노이 칸 48개로 쌓은 키 큰 거품 기둥이 천천히 돌며, 청록 오각형만 두른 십이면체와 금색 육각형 둘을 낀 십사면체가 흰 모서리 아래 맞물린 위어-펠런 구조를 보여 주는데, K3 을 올리면 기둥 위쪽부터 같은 부피의 켈빈 깎은 팔면체가 보라 정사각형을 달고 들어서고 K4 는 칸을 제 자리 쪽으로 줄여 틈을 벌려요. | + ### 55판 | 패턴 | 갈래 | 한 줄 | @@ -2750,6 +2765,50 @@ E8 의 근 240개를 고셋의 4₂₁ 다면체 꼭짓점으로 그렸어요. 주제 5 로 오일러의 엘라스티카(1744)를 세웠어요. 야코프 베르누이(1694)가 묻고 오일러가 다 그린, 끝에서 눌린 가는 막대의 모양이에요. 막대의 접선각 θ 는 sin(θ/2) = k sn(√λ s + K) 를 따르고, 이것은 진자 방정식 θ'' = −λ sin θ 이에요. 키르히호프(1859)의 운동 유비라서, 패턴은 막대 위에 그 진자를, 아래에 진자의 상평면을 같이 그려요. 막대를 달리는 구슬 자리의 접선과 위의 진자가 늘 나란해요. 막대 길이는 120 LED 이고, 닫힌 꼴을 8,000 줄과 16,000 줄로 쪼개 리처드슨 외삽으로 재면 120 과 2.4e-11 안이에요. 핀의 곡률은 막대 위 가장 큰 곡률의 3.0e-15 배 아래이고, RK4 로 따로 푼 θ'' = −λ sin θ 는 닫힌 꼴과 1.5e-10 LED 안에서 겹쳤어요. 두 끝의 거리는 D/L = 2E(k)/K(k) − 1 이라, 끝이 만나는 물방울은 α = 130.7099° 에서 서요. 모드 1~4 가 다 같은 각이에요. 모드 1 의 휨은 한쪽으로만 나서 114도에서 48.4 LED 까지 넓어져요. 그래서 핀은 막대가 패널에 들어가는 동안 가운데 세로줄에 있다가, 넓은 모양에서만 추력선이 핀을 싣고 20.2 LED 까지 옆으로 비켜요. 첫 판은 막대와 작은 진자, 분리선만 그린 상평면이라 `thirds` 가 7/16/12, Hue 반응이 0.03 이었어요. 가족의 가운데 모양이 납작해서, 2~8초 동안 막대만 세면 2.8/18.2/2.4 예요. 물방울은 높이 31 에 너비 47 이고, 직각 엘라스티카는 55 에 46 이에요. 진자가 꺾이는 끝에서 오래 머무는 만큼 밝힌 긴 노출 부채꼴을 더하자 위 3분의 1 이 8 에서 16 이 됐어요. 상평면에 30~150도 궤도 다섯을 깔고 θ 의 색으로 칠하자 아래가 21, Hue 가 0.05 가 됐어요. 지금 판은 16/18/17 이고 노브는 0.04, 0.09, 0.08, 0.08 이에요. 색상환을 돌리면 어두운 주황과 노랑이 진자 부채꼴에서 갈색과 올리브로 보여서, 색상환이 장미색에서 라임까지 서둘러 지나가게 휘었어요. 고리가 제 몸을 가로지르는 자리는 뒤에 오는 가닥을 위로 그리고 검은 테로 아래 가닥을 끊어서, 위아래로 지나가는 것으로 읽혀요. +## 54판 + +54판도 53판처럼 할로윈 몫이 쉬어서 열 개 모두 주제 5 「수학 · 추상」이에요. 같이 돈 53판(#264)이 고른 가우스 주기와 정사각형 분할, 디랙의 벨트 묘기 같은 수학과 지도 칸 둘을 피해서 골랐고, 앞 바퀴 PR 들에 따를 글은 없었어요. 52판까지 세면 추상 갈래 가운데 노이즈·흐름과 보로노이·셀, 시뮬레이션이 열하나로 가장 적었고 데이터 그림과 입자가 열둘이었어요. 53판까지 넣어 세면 열하나에서 열셋인 갈래가 열둘이라, 위상·매듭과 리듬·펄스를 뺀 열 갈래에 하나씩 넣었어요. 새 갈래는 열지 않았어요. 열 개 다 「흔한 것」에도 「낯선 수학 예」에도 없고, 다 새로 찾았어요. 주제 1 은 Strange Eigenmode 가 Frost 와 Smalti 뿐이던 복잡도 × 채움 4,2 에, Arcsine Law 가 Hitomezashi 와 Sequins 뿐이던 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 에 섰어요. 4,3 은 같이 돈 55판도 겨눠서 지금은 다섯이 서요. 처음에는 Smale Horseshoe 가 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 를 겨눴는데 촘촘함 0.216 에 그쳐서, 모양 바뀜이 이미 그 띠에 있던 Arcsine Law 를 4,3 으로 옮겼어요. 주제 4 는 Størmer Trap 과 Stable Marriage, Arcsine Law 가 맡았어요. Ulam Sequence 의 모양 바뀜 0.016 이 그 축의 아래 끝을 0.021 에서 내렸고, 나머지 아홉은 어느 축의 끝도 넘지 않았어요. 복잡도는 0.121 에서 2.254, 움직임은 0.187 에서 1.910 이에요. 열 개는 `shelf.json` 의 어느 묶음에도 넣지 않아서 페이지 맨 위 「아직 안 추린 것」에 서요. + +### Nodal Domains + +주제 5 로 무작위 파동의 마디 영역을 세웠어요. 마이클 베리는 1977년에 혼돈 당구대의 높은 고유함수가 파수 k 가 같은 평면파를 무작위 방향과 위상으로 겹친 것처럼 보인다고 했어요. 그 함수가 양수인 곳끼리, 음수인 곳끼리 이어진 조각이 마디 영역이에요. 에브게니 보고몰니와 샤를 슈미트는 2002년에 이 영역들을 임계 결합 스미기로 보고, 넓이 k²/4π 마다 (3√3 − 5)/π = 0.0624 개의 영역이 있다고 내다봤어요. 패턴은 LED 하나를 한 점으로 두고, 반 바퀴를 40칸으로 나눠 칸마다 한 방향을 뽑은 평면파 40개를 더해요. 파동마다 위상이 표준편차 0.6 rad/s 의 정규 분포에서 뽑은 제 빠르기로 돌아서, 장은 어느 순간에도 베리의 장이고 되풀이하지 않아요. 영역은 같은 부호의 네 이웃을 잇고, 2×2 칸의 네 모서리 부호가 엇갈리면 쌍선형 곡면의 안장 값으로 어느 대각선을 이을지 정해요. 그래서 LED 사이의 이어짐이 곡면의 이어짐과 같아요. 영역의 색은 지난 프레임과 겹친 LED 수로 물려받아서, 갈라지면 큰 쪽이 색을 지키고 합쳐지면 더 많이 겹친 쪽의 색이 남아요. 첫 판은 영역마다 무작위 색을 줘서 어두운 주황이 갈색으로 보였고, 움직임 1.091 에 4.2 ms 였어요. K3 끝의 파장 3.5 LED 에서는 마디선이 영역을 다 먹었어요. 그래서 파장을 8 에서 5.5 LED 까지로 줄이고, 색을 영역 크기에 걸었어요. 처음에는 패널을 가로지르는 영역을 다 옅게 칠했는데, 64×128 에서는 두 부호가 다 가로질러서 화면이 바랬어요. 가장 큰 영역 하나만 옅게 칠하고, 다른 영역이 4분의 1 더 커져야 표시를 넘겨주게 했어요. 색이 바뀐 LED 를 통째로 번쩍이게 했더니 프레임마다 336개, 패널의 4분의 1이 늘 번쩍였어요. 안장 둘레 3×3 만 번쩍이게 바꾸자 26개가 됐어요. 위상 빠르기를 절반으로 줄이자 움직임이 0.369 가 됐고, 가운데 열에 대한 대칭으로 합을 절반으로 줄이고 줄마다 삼각함수 대신 한 번 돌려서 2.6 ms 가 됐어요. 확인한 것이에요. 높이 0 에서 패널은 1,800 프레임 평균 53.8 개 영역을 셌고, 보고몰니-슈미트가 같은 넓이에 주는 25.1 의 2.14 배예요. 테두리가 영역을 잘라 조각을 늘리기 때문이에요. 같은 코드를 64×128 에서 512×1024 까지 상자 넷에 옮겨 52.7, 153.1, 504.6, 1,783.9 개를 세고 넓이와 둘레로 맞추자, 넓이 k²/4π 마다 0.0604 개로 예측의 0.968 배가 나왔어요. 둘레 1 LED 마다 0.075 개가 더 붙어요. 높이 1 에서는 패널의 15.3% 가 그 위에 있어서 정규 분포의 15.9% 와 맞았어요. 속도 2 에서 패널은 1초에 합침 54번과 갈라짐 55번을 겪어요. 잰 값은 움직임 0.369, 촘촘함 0.289, 가장자리 0.861, 복잡도 1.315 이고 채움은 0.879 예요. 노브 넷은 0.47, 0.34, 0.40, 0.48 이에요. + +### Strange Eigenmode + +주제 5 와 1 로 이상 고유 모드(strange eigenmode)를 세웠어요. 레이먼드 피어험버트는 1994년 Chaos, Solitons & Fractals 4 에서, 주기적으로 젓는 혼돈 흐름에 확산이 조금 있으면 물감의 세기는 정해진 지수 비율로 줄지만 줄무늬 모양은 한 꼴로 굳어 주기마다 다시 나타난다는 것을 보였어요. 한 주기의 이류 확산 사상에서 가장 느리게 사라지는 플로케 모드예요. 흐름은 그의 사인 흐름이라, 반 주기는 행마다 x 를 A sin(2πy + p1) 만큼 밀고 나머지 반 주기는 열마다 y 를 A sin(2πx + p2) 만큼 밀어요. 패턴은 한 변 1 인 토러스를 가로 64, 세로 128 LED 로 그려요. 줄 하나를 미는 일은 그 줄의 푸리에 모드마다 위상을 돌리는 것이라 FFT 로 정확히 하고, 매 프레임 평균을 빼고 실효값 1 로 되돌려서 화면은 바래지 않아요. 처음에는 반 주기를 한 번에 밀었더니 이웃한 열이 13 LED 씩 어긋나 줄무늬가 점선으로 끊겼어요. 한 조각에서 줄이 LED 하나에 하나 넘게 기울지 않게 걸음을 자르고 조각마다 가로지르는 확산을 넣자 끊김이 사라졌어요. 확산 33A LED² 에서는 덩어리뿐이라 복잡도 1.510, 채움 0.459 였어요. 4A 까지 내려도 나이퀴스트의 4분의 3 위로 가는 분산이 0.18% 라서 거기를 바닥으로 뒀어요. 겨눈 칸은 Frost 와 Smalti 뿐이던 복잡도 × 채움 4,2 예요. 음수를 패널에서 보이지 않는 23 아래의 남색 등고선으로 칠하고 양수를 보라에서 옅은 청록으로 칠하자, 씨앗에 따라 복잡도는 1.99 에서 2.18, 채움은 0.41 에서 0.57 로 흔들렸어요. 모드의 왜도가 ±1.4~2.7 이라 부호가 바뀌면 밝은 쪽 몫이 달라졌고, A 1.0 에서는 맨 앞 두 승수가 0.465 와 0.444 로 붙어 있어 8초 안에 한 모양으로 모이지 않았어요. 부분 공간 반복으로 A 를 훑어 둘째 승수가 0.28 로 떨어진 A 1.2 를 K3 0 에 두고, 처음 열 주기를 미리 돌리고, 왜도가 양이 되게 부호를 정했어요. 복잡도는 2.194 를 지나 2.219 가 됐어요. K3 을 돌리면 이 흐름의 플로케 구조가 그대로 보여요. A 0.45 에서는 규칙 섬이 물감을 붙잡아 한 주기에 10% 만 바래요. A 0.82 와 1.4 에서는 맨 앞 승수가 137도와 136도 돈 복소쌍이라 모양이 되풀이되지 않아요. A 1.6 에서는 승수가 -0.41 이라 주기마다 밝은 곳과 어두운 곳이 뒤집혀 돌아와요. 확인한 것이에요. 여는 노브에서 같은 위상의 프레임을 주기마다 견주니 1 빼기 상관이 첫 주기 9.3e-4 에서 아홉째 주기 9.3e-7 로 줄었어요. 넷째 주기부터는 주기마다 0.44~0.55 배라서 둘째와 첫째 승수 비의 제곱 0.52 와 같은 크기예요. 정규화가 덜어 낸 로그를 한 주기 더하면 감쇠율이 0.951 이고, 같은 사상을 부분 공간 반복으로 푼 첫 승수 0.389 에서 나오는 0.945 와 맞아요. 화면은 그대로지만 참 세기는 3초마다 0.39 배가 되어 1분이면 5.5e-9 배예요. 잰 값은 복잡도 2.219, 채움 0.512 이고 움직임은 1.628 이에요. + +### Pearcey Cusp + +주제 5 로 피어시 적분을 세웠어요. 트레버 피어시가 1946년에 초곡선(caustic)의 첨점 근처 전자기장을 셈해 표로 낸 적분 P(x, y) = ∫exp(i(t⁴ + y t² + x t))dt 예요. 광선만 따지면 빛은 8y³ + 27x² = 0 의 첨점 곡선에 모여 세기가 무한대가 되는데, 파동으로 셈하면 그 곡선 안쪽에 밝은 점이 격자로 늘어선 간섭무늬가 생겨요. 마이클 베리와 콜린 업스틸은 1980년에 이것을 에어리 함수 다음의 둘째 회절 파국으로 묶었어요. 그 무늬의 어두운 점은 세기가 정확히 0 이고 위상이 한 바퀴 도는 소용돌이라는 것이 1979년에 베리가 존 나이, 프랜시스 라이트와 낸 논문에 나와요. 패턴은 LED 마다 이 적분을 셈해요. 적분 길을 실수축에서 t(s) = s + 0.5i·s³/(s² + 25) 로 들어 올리면 먼 곳에서 exp(−s⁴) 로 꺼져서, 사다리꼴 규칙 169점이 기하급수로 맞아요. 행마다 t⁴ + y t² 의 몫과 열마다 exp(ixt) 의 몫을 따로 두어 복소 곱셈 138만 번에 한 장을 짓고, 노브가 움직일 때만 11~16 ms 를 써요. 프레임마다는 위상만 돌려서 1 ms 안이에요. 처음에는 140자리 십진수로 멱급수를 더해 맞춰 보려 했는데, |x| 가 30 을 넘자 항이 10의 130제곱까지 커져서 급수 쪽이 틀렸어요. 그래서 mpmath 80자리로 t = s·e^(iπ/8) 길의 합을 따로 셈해 LED 40곳과 견줬고, K4 로 기울인 곳까지 상대 오차가 2.9e-10 안이었어요. 영점은 LED 네 개가 이루는 칸마다 위상이 감기는 수로 찾아요. 처음 노브에서 +38 과 −38 로 76개가 나왔고, 4배 촘촘한 격자에서는 같은 범위에 78개라 한 쌍이 LED 한 칸 안에 숨어 있었어요. K3 이 1 이면 282개 가운데 264개를 찾아요. 첫 판은 움직임 0.454, 복잡도 2.074, 채움 0.825, 색 0.165 였어요. 청록 위에 파랑으로 찍은 음의 영점은 안 보였고, 물마루는 첨점 끝 쪽으로 거슬러 올라갔어요. P 는 dP/dy = −i d²P/dx² 를 따르는 근축 파동이고 y 는 나아간 거리의 반대라서, 그리는 것을 P·exp(iωt) 의 실수부로 바꿔 물마루가 아래로 흐르게 했어요. 밝기를 (|P|/2.4)^0.85 에서 (|P|/2.2)^0.85 로 올리고 물마루 사이의 골도 0.3 에서 0.4 로 밝히자 채움이 0.959 가 되어 패널 전체가 초록이었고 첨점이 묻혔어요. 지수를 0.95 로 올려 흐린 곳을 누르고, 광선 셋이 지나는 첨점 곡선 안쪽은 초록, 하나만 지나는 바깥은 청록으로 나누자 채움 0.911, 색 0.188 이 됐어요. K4 의 기울기는 a·t³ 항이에요. t = u − a/4 로 옮기면 사라지는 항이라 그림은 비스듬히 민 축 위의 같은 피어시 장이고, 적분 길도 a/4 만큼 옮겨 셈해요. 잰 값은 움직임 0.384, 촘촘함 0.053, 복잡도 2.254, 모양 바뀜 0.131 이고, 노브 넷은 0.16, 0.10, 0.12, 0.12 예요. + +### STIT Tessellation + +주제 5 로 STIT 모자이크를 세웠어요. 베르너 나겔과 비올라 바이스가 2005년 「Crack STIT tessellations」(Advances in Applied Probability 37)에서 낸 과정이에요. 창 하나에서 시작해 칸마다 지수 분포 시간을 기다리는데, 그 빠르기는 칸을 지나는 직선의 측도이고 방향이 고르면 코시 공식으로 둘레를 π 로 나눈 값이에요. 시간이 다 되면 그 직선들 가운데 하나가 칸을 둘로 자르고, 두 칸은 저마다 따로 이어 가요. 새 선분은 늘 옛 선분에서 끝나서 꼭짓점이 다 T 자이고, 직선이 모든 것을 가로지르는 푸아송 직선 모자이크의 X 자가 없어요. 이름의 STable under ITeration 은 모자이크의 칸마다 모자이크를 다시 넣어도 법칙이 그대로라는 뜻이고, 그 덕에 시간 t 의 모자이크를 t 배 하면 시간 1 의 모자이크와 같아요. 패턴은 칸을 볼록 다각형으로 두고 변마다 잘린 시각을 적어 둬요. 자를 직선은 방향과 칸을 감싼 원 위의 위치를 고르게 뽑아 칸에 닿을 때만 받아요. 패널은 한 칸으로 시작해 Speed 2 에서 1.5초 만에 LED 단위 시간 1/κ 의 밀도에 이르고, 그다음은 천천히 떠도는 점으로 다이빙해요. 한 프레임에 화면을 z 배 키우면 과정을 시간 (1 − 1/z)/κ 만큼 더 돌려 같은 법칙으로 돌아오고, 창 안의 STIT 는 그 창만의 STIT 라서 칸을 패널 테두리로 잘라 내고 나간 칸은 버려요. 선은 LED 중심이 변에서 0.62 안이면 검게, 잘린 지 0.5초 동안은 하얗게 그려요. 첫 판은 시작할 때 시간 1/κ 의 모자이크를 한꺼번에 짓고 칸을 넓이의 로그로 칠했어요. 이웃한 칸은 크기가 비슷해서 색도 비슷했고, 다이빙으로 커지는 칸이 다 초록과 파랑으로 몰렸어요. 색이 0.546 이었고, 금빛에서 보라로 가는 넓이 띠로 바꾸자 0.439 였어요. 그래서 잘린 두 칸이 부모 색에서 색상환을 0.05~0.1 씩 반대로 돌고 하나는 밝게 하나는 어둡게 물려받게 했어요. 가장 오래된 선이 색의 집안을 가르고, 색은 0.494 가 됐어요. 패널이 한 칸에서 자라나는 처음 1.5초도 넣었어요. 다이빙은 초당 0.18 에서 0.24 로 빨라져 2.9초마다 두 배로 다가가요. 확인한 것이에요. 시간 0.05, 0.1, 0.2 에서 1,000번씩 지어 칸 13.52, 39.88, 129.48 개를 얻었고, 1 + t·둘레/π + t²·넓이/π 의 13.63, 39.30, 129.75 와 표준오차 안팎에서 맞았어요. 안쪽 꼭짓점은 T 가 12.9, 53.1, 207.9 개이고 X 는 0 이었어요. 같은 측도의 푸아송 직선은 2,000번에 칸 39.65, 130.69 개, X 26.4, 105.1 개예요. 축을 따르는 선만 쓰면 10.97, 31.27, 102.09 개로 1 + t(64 + 128)/2 + t²·넓이/4 의 10.92, 31.08, 102.12 와 맞았어요. 칸의 꼭짓점 수를 Miles-Lantuéjoul 가중으로 평균하니 3.994 로 이론의 4 예요. 정적으로 지은 모자이크에서 16줄 띠마다 선분 길이가 110.6~113.0 으로 기대값 112.4 와 맞아, 테두리 탓의 치우침이 없어요. 여는 노브로 190초씩 여섯 번 다이빙하니 패널의 칸이 평균 46.70 개로 창 공식의 45.85 에 가까웠고, 초당 18.1 번 잘렸고 X 는 한 번도 없었어요. 잰 값은 채움 0.964, 색 0.494, 움직임 0.778, 모양 바뀜 0.134 이고 `thirds` 는 96/97/95 예요. + +### Arcsine Law + +주제 5 와 4 로 아크사인 법칙을 세웠고, 주제 1 로 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 을 겨눴어요. 폴 레비는 1939년에 브라운 운동이 0 위에서 보내는 시간의 몫이 밀도 1/(π√(x(1−x))) 를 따른다고 보였어요. 이 밀도는 1/2 에서 가장 낮고 0 과 1 쪽으로 치솟아서, 동전을 오래 던지면 한쪽이 거의 내내 앞서는 일이 반반으로 갈리는 일보다 흔해요. 마지막으로 0 을 지난 시각과 최댓값에 닿은 시각도 같은 법칙을 따르고, 걸음 수가 유한할 때의 정확한 꼴은 펠러의 교과서(1950)에 있어요. 패턴은 걸음 48개를 열마다 하나씩 두고, 속도 2 에서 1초에 40줄씩 한 걸음에 한 줄을 내려서 126걸음이 패널 높이를 다 써요. LED 하나가 동전 한 번이라 위로 간 걸음은 밝고 아래로 간 걸음은 3분의 1 밝기예요. 색은 그때까지 합의 부호라서 0 위면 호박색, 아래면 하늘색이에요. 동전은 잡음처럼 흩어지는데 색은 열마다 길게 한 가지로 이어져요. 126걸음이 끝나면 호박색 칸이 열 위쪽으로 떠오르고 열이 그 수대로 줄을 서서, 두 색의 경계가 이 판의 분위 곡선이 되고 그 위에 레비 법칙의 분위를 흰 점으로 찍어요. 오른쪽 15열은 같은 시간축의 히스토그램이고, 그리지 않는 걸음을 프레임마다 8개 더해서 1분이면 1만 4천 걸음 넘게 쌓여요. 첫 판은 촘촘함 0.192, 모양 바뀜 0.296 이었어요. 4,3 칸에 서려면 촘촘함이 0.297 을 넘어야 했는데, 호박색과 하늘색의 가장 밝은 채널이 다 255 라서 0 을 사이에 둔 이웃 열 사이에 밝기 차이가 거의 없었어요. 하늘색 쪽을 어둡게 하고 지난 판의 바둑판을 다 밝히자 0.217 과 0.235 였어요. 다 내려온 걸음만 있는 화면이 0.16, 줄 선 화면이 0.06 이었어요. 동전 결을 밝기로 넣자 줄 선 화면도 0.27 이 되어 촘촘함이 0.316 이 됐지만, 화면 평균 밝기가 바둑판과 가까워져서 모양 바뀜이 0.182 로 떨어졌어요. 하늘색 쪽을 더 어둡게 하거나 바둑판을 넷에 하나로 성기게 해도 두 값이 함께 넘지 않았고, 0.260 과 0.212 가 가장 가까웠어요. 첫 판을 어두운 패널 위로 내리고 1초에 40줄로 빠르게 하자 0.309 와 0.232 가 됐어요. 그 뒤 10~16초 창에서는 촘촘함 0.317, 모양 바뀜 0.174 예요. 확인한 것이에요. 공정한 걸음 148,848 개의 히스토그램을 126걸음의 정확한 법칙과 견주자, 0 위의 시간은 콜모고로프 거리 0.0028, 마지막 0 은 0.0014 였어요. 최댓값의 시각은 0.0023 이고, 모두 5% 문턱 0.0036 아래예요. 레비의 연속 법칙과는 0.015 에서 0.036 떨어지는데, 정확한 법칙 자체가 126걸음에서 그만큼 떨어져 있어요. K4 를 0.5 로 올려 치우침 0.052 를 걸자 0 위의 시간은 0.19 벗어났고 마지막 0 은 0.051 만 벗어났어요. 잰 값은 움직임 1.079, 촘촘함 0.309, 복잡도 1.082, 모양 바뀜 0.232 이고 `thirds` 는 83/72/63 이에요. 노브 넷은 0.26, 0.29, 0.12, 0.30 이에요. + +### Størmer Trap + +주제 5 와 4 로 카를 스퇴르메르가 1907년에 다룬 쌍극자 장 속 대전 입자의 문제를 세웠어요. 장이 축을 두고 돌려도 같아서 방위각 방향의 정준 운동량이 보존되고, 스퇴르메르는 이 하나로 입자가 들어갈 수 없는 금지 영역을 그렸어요. 적도에서 √2 − 1 = 0.414 스퇴르메르 길이보다 안쪽에 있는 입자는 어느 쪽으로 출발해도 빠져나가지 못해요. 갇힌 입자는 자기력선을 감아 돌며 장이 센 쪽의 두 거울점 사이를 오가요. 그러는 동안 축을 따라 천천히 떠도는데, 양전하와 음전하가 서로 반대로 돌아요. 패턴은 입자 48개를 3차원에서 보리스 방법으로 적분해요. 쌍극자는 패널을 가로질러 눕혔어요. 자기력선 r = L cos²λ 는 축을 가로질러 2L 너비에 0.77L 높이라서, 축을 세우면 64 LED 너비 안의 덫이 가운데 24줄만 써요. 눕히자 고리가 위아래 끝까지 서서 첫 판의 `thirds` 가 19/41/22 였어요. 입자는 적도 거리 34~62 LED 의 껍질에 놓고, 자기 모멘트가 적도와 같아지는 피치각으로 바운스의 아무 자리에서 출발시켜요. 첫 판은 걸음 길이를 그 자리의 장에서 바로 읽었는데, 피치각 60도에서 자기 모멘트가 20초에 26~31% 흘렀고 방위각 운동량도 12% 흔들렸어요. 걸음 밀도를 하이러와 쇠더린드의 가역 규칙으로 고르자 0.4~0.7% 와 0.3% 로 줄었어요. 바깥 껍질의 회전 반경이 1.6 LED 일 때는 나선이 보이지 않아서, 처음 에너지를 바깥 껍질 0.16 스퇴르메르 길이에서 0.19 로 올렸어요. 이제 고리 꼭대기에서 회전이 4.5 LED 폭으로 꿈틀거려요. 시점을 0.21 라디안 돌려 적도 고리가 선 대신 좁은 타원으로 보이고, K4 를 2~90도에서 0~90도로 바꿔 처음 화면에서 입자 대부분이 구 가까이까지 깊이 되튀어요. 확인한 것이에요. 처음 노브로 30초를 돌리니 속력 제곱은 5e-14 안에서 그대로였고, 방위각 정준 운동량은 자기 항 k/L 에 견주어 입자마다 가장 크게 흔들린 폭이 중앙값 0.24%, 가장 큰 것 0.65% 였어요. 거울점에서 잰 자기 모멘트 v²/B_m 은 안쪽 껍질에서 0.1%, 바깥 껍질에서 0.2% 의 표준편차로 지켜졌어요. K3 을 0.25 로 올리면 바깥 껍질의 표준편차가 3.5% 가 되고, 0.5 에서는 23~56% 로 깨져요. 스퇴르메르의 한계 0.414 는 K3 0.47 에서 바깥 껍질을 지나요. 0.5 까지는 30초 동안 빠져나간 입자가 없었어요. 0.75 에서는 71개, 1 에서는 1,060개가 빠져나갔어요. 손실 원뿔(바깥 껍질 1.9도, 안쪽 4.9도) 안에서 출발한 넷은 넷 다 구에 닿았고, 밖에서 출발한 49개 가운데 닿은 것은 원뿔 가장자리의 하나뿐이에요. 양전하는 초당 0.059, 음전하는 −0.057 라디안으로 하나도 빠짐없이 제 방향으로 떠돌아서 한 바퀴에 106초쯤 걸려요. 잰 값은 움직임 0.352, 복잡도 1.420, 채움 0.292, `thirds` 21/40/26 이고, 노브는 0.05, 0.09, 0.09, 0.09 예요. + +### Stable Marriage + +주제 5 와 4 로 게일과 섀플리의 지연 수락을 세웠어요. 데이비드 게일과 로이드 섀플리가 1962년에 낸 알고리즘이에요. 청혼하는 쪽이 목록 순서대로 청혼하고, 받는 쪽은 지금까지 온 것 가운데 가장 나은 하나만 쥐고 나머지는 돌려보내요. 끝나면 언제나 안정 매칭이 서요. 서로를 지금 짝보다 더 바라는 쌍이 없다는 뜻이에요. 게다가 청혼한 쪽은 모두 안정 매칭에서 얻을 수 있는 가장 나은 짝을 얻고, 받는 쪽은 모두 가장 나쁜 짝을 얻어요. 패턴은 위 가장자리에 16명, 아래에 16명을 4 LED 간격으로 세우고, 청혼 하나를 128줄을 가로지르는 선으로 그려요. 한 라운드에 짝 없는 사람이 모두 한 번씩 청혼해요. 받아들여진 선은 남고 거절된 선은 번쩍이며 사라져요. 받는 쪽이 더 나은 상대로 갈아타면 쥐고 있던 선이 가운데서 끊겨 두 사람 쪽으로 감겨 들어가요. 선의 위 끝은 위 사람이, 아래 끝은 아래 사람이 상대에게 매긴 순위의 색이라 첫 선택은 초록, 마지막은 분홍이에요. 위쪽 안정 매칭이 서면 같은 목록으로 아래쪽이 청혼하고, 그동안 첫 매칭은 흐린 선으로 남아요. 위가 청혼할 때 초록이던 위 끝이 아래가 청혼하면 파랑과 분홍으로 바뀌고 아래 끝이 초록이 돼서, 한쪽의 최선이 다른 쪽의 최악이라는 정리가 색으로 보여요. 마지막 4초는 두 매칭이 다른 쌍만 번갈아 바뀌어요. 첫 판은 32명씩이었고 움직임 0.173, 촘촘함 0.203, 채움 0.563, 색 0.362 였어요. 그런데 라운드로 도는 지연 수락은 첫 몇 라운드 뒤에 청혼 하나가 한 사람을 밀어내는 사슬로 끝나서, 32명이면 2,000번 평균 43라운드, 가장 긴 것은 161라운드였어요. 처음 노브에서 한 번 도는 데 12초에서 29초가 걸렸어요. 청혼이 하나뿐인 라운드를 여덟 이상인 라운드의 0.35 길이로 줄이고 16명으로 내리자 한 번이 2~13초가 됐고, 선 하나하나가 읽혀요. 채움은 0.566 에서 0.371 로 내려갔고, 선 폭을 1.5 LED 로 넓히고 가장자리에 3×3 LED 사람 칸을 두자 0.442 가 됐어요. 정리는 패턴을 그대로 돌려 확인했어요. Agreement 다섯 값과 Choosy 네 값에서 8,000번을 돌려 안정 매칭 16,000개를 모으니 막는 쌍은 하나도 없었어요. 위가 청혼한 매칭보다 아래가 청혼한 매칭에서 더 나은 짝을 얻은 위 사람도, 그 거꾸로인 아래 사람도 없었어요. Choosy 를 올려 혼자 남는 사람이 생겨도 두 매칭에서 혼자인 사람은 늘 같았어요. 앨빈 로스가 1986년에 낸 시골 병원 정리예요. 목록이 다 무작위인 5,000번에서 청혼 수는 평균 46.07 로, 크누스의 n ln n = 44.4 와 윌슨의 상한 n H_n = 54.1 사이에 들어요. 모두가 같은 순위를 쓰면 136 = 16·17/2 번이고 안정 매칭은 하나뿐이에요. `thirds` 는 45/40/46 이고, 잰 값은 움직임 0.187, 복잡도 1.441, 색 0.315, 모양 바뀜 0.173, 노브 넷은 0.15, 0.15, 0.18, 0.17 이에요. + +### Smale Horseshoe + +주제 5 로 스메일의 말굽을 세우고, 주제 1 의 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 도 겨눴어요. 스티븐 스메일이 1965년 「Diffeomorphisms with many periodic points」에서 낸 사상으로, 정사각형을 한쪽으로 누르고 다른 쪽으로 늘인 다음 U 자로 꺾어 제 위에 다시 얹어요. 정사각형과 그 상은 띠 두 개에서 만나고, n 번 접은 상은 너비 합이 (2λ)^n 인 세로 띠 2^n 개, 거꾸로 접은 상은 가로 띠 2^n 개예요. 둘이 겹치는 곳에 남는 칸토어 먼지 위에서 사상은 두 글자의 자리옮김과 같아요. 패턴은 패널 전체를 정의역으로 두고 가운데 64×64 를 정사각형으로 써요. 왼쪽 다리는 왼쪽 가장자리를 오르고 오른쪽 다리는 오른쪽 가장자리를 내려오며, 둘 사이를 반지름 18 의 아치가 위 덮개에서 이어요. 아래 덮개는 왼발로, 위 덮개는 뒤집혀 오른발로 가요. λ 는 0.435 이고 늘이는 비율 μ = 2 + (π/2)(1 − λ) = 2.89 는 아치가 다리와 같은 빠르기로 돌게 고른 값이에요. LED 마다 역사상을 다섯 번까지 걸어 칸토어 틈의 깊이를 읽고, 오른쪽 다리와 아치 오른쪽 절반을 지난 횟수의 홀짝으로 그 가닥이 오르는지 내리는지를 정해요. 첫 판은 깊이를 한 색의 밝기로만 칠해 촘촘함 0.144, 모양 바뀜 0.304 였어요. 겨눈 칸은 Ham Sandwich 와 Pin Art 뿐인 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 였어요. 가닥을 오르내림으로 금빛과 하늘색으로 나누자 0.168, 반 바퀴를 멈춰 두자 0.181, 발을 아래 덮개까지 내리자 0.196, 색을 RGB 로 섞어 초록 얼룩을 없애자 0.210 이 됐어요. 하늘색을 0.62 에서 0.8 로 밝히고, 가로 띠는 다리 사이 틈에서만 되살아나게 하자 촘촘함 0.216, 모양 바뀜 0.338 이 됐어요. 멈춘 프레임은 0.262 인데 누르는 동안은 0.09~0.15 로 떨어져요. 정사각형 안의 가로 걸음은 평균 0.43 이지만 세로 걸음은 0.03~0.05 예요. λ 를 하나로 정하면 가닥과 틈이 한 LED 씩 번갈아 설 수 없고, 교차점을 가장 밝게 두면 밝기 폭을 두 방향이 나눠 써서 0.25 쯤이 끝이에요. 0.297 을 넘기려면 교차점을 어둡게 한 바둑판이 되어야 해서 불변 집합이 숨어요. 그래서 4,4 도 4,3 도 아닌 3,4 에 섰어요. 확인한 것이에요. 가운데 줄을 64만 점으로 훑으니 n = 1~6 에서 세로 띠가 2, 4, 8, 16, 32, 64 개였고, 너비 합 55.731, 48.531, 42.261, 36.800, 32.046, 27.906 LED 가 64(2λ)^n 과 소수 셋째 자리까지 같았어요. 이웃한 띠는 늘 반대로 달렸어요. f^n 의 고정점은 2^n 개였고 |f^n(z) − z| 는 3.5×10⁻¹⁰ 아래예요. 한 번 접은 끝 프레임과 다음 처음 프레임은 30 넘게 다른 LED 가 0개예요. 잰 값은 움직임 1.910, 촘촘함 0.216, 모양 바뀜 0.338 이고 `thirds` 는 47/51/43 이에요. + +### Ulam Sequence + +주제 5 로 울람 수열과 그 숨은 진동수를 세웠어요. 스타니스와프 울람이 1964년에 낸 수열이에요. 1 과 2 에서 시작해서, 앞선 서로 다른 두 항의 합으로 꼭 한 가지로만 쓰이는 가장 작은 수를 다음 항으로 붙여요. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26 으로 가고, 16,000 항까지 간격은 평균 13.3 이지만 규칙은 보이지 않아요. 슈테판 슈타이너베르거는 2017년 Experimental Mathematics 에서, α ≈ 2.5714474995 로 각 항을 원에 감으면 2, 3, 47, 69 말고는 모두 cos(αa) < 0 인 절반에 든다는 것을 찾았어요. 왜 그런지는 아직 아무도 몰라요. 패턴은 항을 직접 세요. 가짓수를 2 에서 멈추는 배열에 새 항과 앞선 모든 항의 합을 더하고, 가짓수가 1 인 가장 작은 수를 다음 항으로 골라요. 첫 프레임에 600 항을 세고, 그 뒤로 1초에 80 항씩 16,000 항까지 가요. α 도 코드가 찾아요. 처음 200 항으로 0.01 에서 π 까지 봉우리 폭의 5분의 1 간격으로 |Σ e^{iαa}| 를 훑고, 항 수가 두 배가 될 때마다 모든 항으로 그 둘레를 다시 훑어 포물선 꼭짓점을 잡아요. 가로는 αa 를 2π 로 나눈 나머지라 가운데가 π 이고, 세로는 log(a + 16) 이라 위에는 작은 항이 하나씩, 아래로는 큰 항이 띠로 모여요. 너비가 2π/α, 곧 정수 2.44 개인 격자에 수직선을 감은 셈이에요. 아래 34 줄은 64 칸 히스토그램 더미예요. 첫 판은 항이 늘며 그림이 천천히 줄어들 뿐이라 움직임이 0.046 이었어요. 새 항마다 코일 아래에서 제 칸 더미 위로 0.4초에 떨어지는 불똥을 더하자 0.201 이 됐어요. 더미는 π 바로 위가 움푹한 두 봉우리예요. K3 으로 고르는 U(1,3) 도 두 봉우리이고 U(1,4) 는 평평한 고원이에요. U(2,3) 은 빗살처럼 칸마다 높낮이가 갈려요. U(2,5) 는 짝수 항이 2 와 12 둘뿐이라는 제임스 슈멀과 유진 스피걸의 정리(1994) 대로 α 가 π 로 나오고 더미가 기둥 하나예요. K4 로 α 를 0.0004 만 비틀어도 각도 오차가 항의 크기만큼 자라서, 띠가 아래로 갈수록 기울다 감겨 분홍 절반을 가로질러요. 0.002 에서는 더미가 평평해져요. 확인한 것이에요. U(1,2) 를 16,000 항, 마지막 항 213,514 까지 세고 코드가 9,600 항으로 찾은 α 2.5714479 로 cos(αa) ≥ 0 인 항을 세니 2, 3, 47, 69 넷뿐이었어요. 슈타이너베르거의 값으로 세어도 같은 넷이고, 나머지 가운데 가장 큰 코사인은 -0.035 예요. 3,000 항으로 찾은 α 는 그의 값과 8.6e-7, 16,000 항으로 찾은 α 는 2.2e-7 차이예요. 다른 씨앗에서 절반을 벗어난 항은 U(1,3) 이 4 와 98, U(1,4) 가 1 과 10, U(2,3) 이 5 하나, U(3,4) 가 3 과 11 이에요. 잰 값은 움직임 0.201, 복잡도 0.384, 채움 0.152 예요. + +### Weaire-Phelan + +주제 5 로 켈빈의 문제를 세웠어요. 같은 부피의 칸으로 공간을 나눌 때 벽의 넓이가 가장 작은 꼴을 묻는 문제예요. 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 1887년에 깎은 팔면체를 살짝 굽힌 칸을 내놓았고, 106년 뒤 데니스 위어와 로버트 펠런이 두 가지 칸으로 그보다 0.3% 작은 거품을 찾았어요. 단위 정육면체마다 오각형만으로 된 불규칙한 십이면체 둘과, 육각형 둘에 오각형 열둘을 두른 십사면체 여섯이 들어요. 면을 평평하게 펴면 A15 격자의 보로노이 분할이에요. 패턴은 칸을 정말로 보로노이로 셈해요. 자리마다 정육면체 하나를 두고 주기 격자의 이웃 자리와의 수직이등분면으로 가까운 것부터 잘라 내고, 남은 꼭짓점보다 먼 평면이 오면 멈춰요. 그러면 A15 의 여덟 칸과 BCC 의 두 칸, 곧 켈빈의 칸이 나와요. 한 변 28 LED 의 정육면체로, 십사면체가 육각형으로 이어 쌓인 세로 줄을 축으로 삼아 0.57 변 안의 자리를 높이 ±48 LED 까지 모아 십이면체 14개와 십사면체 34개의 기둥을 세웠어요. 기둥은 위에서 16도 내려다보며 돌고, 앞을 향한 면만 깊이 버퍼로 칠한 뒤 흰 모서리를 그어요. K3 은 기둥을 가르는 선을 내려서 그 위를 같은 부피의 켈빈 칸으로 바꾸고, K4 는 칸을 제 자리 쪽으로 반까지 줄여 안쪽 칸이 보이게 해요. 첫 판은 움직임 0.750, 가장자리 0.879, 복잡도 0.470, 채움 0.693 이었고 한 프레임이 3.1 ms 였어요. 기둥 바닥이 패널 끝에 잘렸고, 그늘진 육각형은 갈색으로 보였어요. 삼각형마다 무게 중심 좌표를 푸는 대신 볼록 다각형을 줄마다 채우고 앞면에 닿은 모서리만 그리자 1.1 ms 가 됐어요. 변을 29 에서 28 LED 로, 높이를 ±58 에서 ±48 LED 로 줄여 기둥이 10~119 줄에 서요. 육각형은 그늘에서도 빛의 42% 를 남겨 금색을 지켜요. 면을 한 색으로 칠하니 복잡도가 0.295 까지 내려가서, LED 마다 깊이로 어둡게 하자 0.521 이 됐어요. 십이면체의 오각형을 초록 쪽으로 옮겨 두 칸이 갈려 보여요. 보로노이 셈은 먼 평면에서 멈추게 해 첫 프레임이 76 ms 에서 33 ms 로 줄었어요. 확인한 것이에요. 평평한 A15 칸의 부피는 정육면체의 정확히 125/1024 와 129/1024 라서 십사면체가 3.2% 커요. 여덟을 더하면 1 이 1e-12 안에서 맞고, BCC 의 두 칸은 512/1024 씩이에요. 십이면체는 오각형 12개, 십사면체는 오각형 12개에 육각형 2개예요. 켈빈 칸은 정사각형 6개에 육각형 8개이고, 칸마다 꼭짓점 − 모서리 + 면 = 2 예요. 부피 1 의 칸 하나가 두른 넓이는 A15 가 5.2950, 켈빈이 5.3147 이라 A15 가 0.371% 작아요. 면을 굽혀 이완하면 위어-펠런이 5.288, 켈빈이 5.306 으로 알려져 있어요. 켈빈 칸의 부피는 2,744 LED³ 로 A15 의 두 칸 2,680 과 2,765 의 평균이에요. 잰 값은 움직임 0.597, 가장자리 0.847, 복잡도 0.544, 채움 0.582 이고, 노브는 0.12, 0.20, 0.21, 0.22 예요. + ## 55판 55판도 주제 5 「수학 · 추상」 열 개예요. 같이 도는 54판(#265)의 PR 본문에서 열 개와 지도 칸을 읽고 피해서 골랐고, 앞 바퀴 PR 들에는 댓글도 리뷰도 없어서 따를 글이 없었어요. 53판까지 든 438개에서 추상 갈래 가운데 노이즈·흐름이 열하나로 가장 적고, 보로노이·셀과 데이터 그림, 입자, 시뮬레이션이 열둘이라 이 다섯에 하나씩 넣었어요. 나머지 다섯은 열셋인 갈래 가운데 54판이 하나도 넣지 않는 위상·매듭과 리듬·펄스에 하나씩, 수론과 알고리즘, 공간·원근에 하나씩 들어갔어요. 열 개 다 「흔한 것」에도 「낯선 수학 예」에도 없고, 넷은 앞 판들이 「목록 밖에서 해 볼 것」에 적어 둔 감이에요. 물음표 함수와 뷔퐁의 바늘, 헥스 정리, 허수 기하예요. Imaginary Geometry 는 흐름장을 그리지만 펄린 노이즈가 아니라 가우스 자유장 하나가 모든 선을 정하고, 각도 순서대로 놓인 선이 서로 건너지 않는다는 정리가 그림이라 「흔한 것」의 흐름장과 다르다고 봤어요. 주제 1 은 가장자리 × 촘촘함 3,4 에 Toussaint-Wilczek, 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 에 Burrows-Wheeler 를 세웠고, 둘이 서로의 칸에도 들어갔어요. 주제 4 는 Imaginary Geometry 와 Tissot's Indicatrix, Universal Cover 예요. @@ -2836,7 +2895,7 @@ ESP32-S3 로 옮길 때 걸릴 것도 있어요. Reaction Diffusion 은 Node 에 ## 다음 판 감 -10월 25일 `dev`(`f72355d`)의 328개에 43판부터 53판까지의 백열 개와 55판의 열 개를 더한 448개에서 잰 값이에요. 패턴 바퀴는 주제 안에서 무엇을 할지 고를 때 이 절을 읽고, 한 것은 빼고 새로 본 것을 더해요. +10월 25일 `dev`(`f72355d`)의 328개에 43판부터 55판까지의 백서른 개를 더한 458개에서 잰 값이에요. 패턴 바퀴는 주제 안에서 무엇을 할지 고를 때 이 절을 읽고, 한 것은 빼고 새로 본 것을 더해요. ### 지도의 빈 칸 @@ -2888,6 +2947,8 @@ ESP32-S3 로 옮길 때 걸릴 것도 있어요. Reaction Diffusion 은 Node 에 53판에서는 축 끝이 둘 옮겨졌어요. Gaussian Periods 가 움직임 축의 위 끝을 Ripple Tank 의 4.751 에서 4.910 으로, Squared Rectangle 이 복잡도 축의 아래 끝을 Hinged Dissection 의 0.058 에서 0.051 로 넓혔어요. 그래서 움직임 칸의 경계는 0.061, 0.301, 1.490 에서 0.061, 0.305, 1.529 로, 복잡도 칸의 경계는 0.620, 1.397, 2.173 에서 0.615, 1.393, 2.172 로 조금 옮겨졌어요. 빈 칸은 생기지 않아서 438개에서도 지도 21장이 다 `none` 이에요. 주제 1 은 51판까지의 418개에 남은 둘뿐인 칸 열셋 가운데, 같이 돈 52판이 겨눈 복잡도 × 모양 바뀜 4,4 와 가장자리 × 복잡도 3,4 를 빼고 움직임 × 촘촘함 4,4 와 복잡도 × 채움 4,1 을 겨눴어요. 52판까지 든 428개에서 열하나이던 그런 칸이 438개에서 아홉이에요. 움직임 × 촘촘함 4,4 는 1초에 바뀌는 빛이 1.49 를 넘으면서 이웃 차이의 평균이 0.297 을 넘어야 하는 칸이에요. 판이 빠르게 바뀌는 잔 결은 잡음이 되기 쉬운데, Gaussian Periods 는 떨어져 선 점 3,641개가 저마다 자리를 옮겨서 두 값을 함께 넘었어요. 점이 서로 붙으면 촘촘함이 내려가서, 점을 직선 대신 호를 따라 옮기고 모서리까지 펼쳐야 했어요. 복잡도 × 채움 4,1 은 켜진 LED 가 30.2% 아래이면서 한 화면이 deflate 로 LED 당 2.173 바이트를 넘어야 하는 칸이에요. Leapfrogging Vortices 의 첫 판은 한 프레임의 바이트 엔트로피가 5.70 비트, LED 당 2.14 바이트라 deflate 가 그 위로 갈 수 없었어요. 꺼진 LED 도 바이트를 쓰게, 물이 온 자리를 거꾸로 따라가는 반짝이를 24 아래로 실었어요. 남은 아홉 가운데 일곱은 촘촘함 축이 든 칸이고, 둘은 복잡도가 2.172 를 넘어야 하는 칸이에요. +54판에서는 Ulam Sequence 의 모양 바뀜 0.016 이 축의 아래 끝을 0.021 에서 내려서, 모양 바뀜 칸의 경계가 0.103, 0.217, 0.331 에서 0.099, 0.214, 0.330 으로 옮겨졌어요. 다른 축의 경계는 53판 그대로이고, 빈 칸은 생기지 않아서 55판까지 든 458개에서도 지도 21장이 다 `none` 이에요. 주제 1 은 52판까지의 428개에 남은 둘뿐인 칸 열하나 가운데, 같이 돈 53판이 겨눈 움직임 × 촘촘함 4,4 와 복잡도 × 채움 4,1 을 빼고 복잡도 × 채움 4,2 와 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 를 겨눴어요. 복잡도 × 채움 4,2 는 한 화면이 deflate 로 LED 당 2.17 바이트를 넘으면서 LED 의 30~56% 만 켜져야 하는 칸이에요. Strange Eigenmode 는 확산이 클 때 덩어리뿐이라 복잡도 1.510, 채움 0.459 였어요. 확산을 줄이자 1.918 과 0.600 이 됐고, 음수 쪽을 패널에서 보이지 않는 23 아래 남색으로 두어 채움을 반쯤으로 묶었어요. 그다음 걸린 것은 고유 모드의 부호였어요. 모드는 부호가 정해지지 않고 왜도가 ±1.4~2.7 이라, 씨앗이 고른 부호에 따라 채움이 0.41 에서 0.57 까지 흔들렸어요. 왜도가 양이 되게 부호를 정하고 맨 앞 두 승수가 떨어진 A 1.2 에서 열자 복잡도 2.219, 채움 0.512 로 칸 안에 섰어요. 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 는 이웃 차이의 평균이 0.297 을 넘으면서 2~8초에 4×16 칸 평균이 0.330 넘게 바뀌어야 하는 칸이에요. Smale Horseshoe 는 모양 바뀜 0.338 로 띠 안에 들었지만 촘촘함이 0.144 에서 0.216 까지만 올랐어요. 멈춘 프레임은 0.262 인데 누르는 동안은 0.09~0.15 로 떨어졌고, λ 를 하나로 정한 칸토어 띠는 가닥과 틈이 한 LED 씩 번갈아 서지 못해요. 그래서 모양 바뀜이 이미 0.296 으로 4,3 의 띠에 있던 Arcsine Law 를 Hitomezashi 와 Sequins 뿐이던 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 으로 옮겼어요. 호박색과 하늘색은 가장 밝은 채널이 다 255 라서, 0 을 사이에 둔 이웃 열 사이에 밝기 차이가 거의 없었어요. 하늘색 쪽을 어둡게 하자 촘촘함이 0.192 에서 0.217 이 됐고, 동전 한 번 한 번을 밝기로 넣자 0.316 이 됐어요. 그런데 그때 모양 바뀜이 0.182 로 떨어졌어요. 화면 평균 밝기가 아래에 깔린 지난 판과 가까워졌기 때문이에요. 첫 판을 어두운 패널 위로 내리고 걸음을 1초에 40줄로 빠르게 하자 촘촘함 0.309, 모양 바뀜 0.232 가 됐어요. 그 뒤 판들이 도는 10~16초 창에서는 모양 바뀜이 0.174 라서, 이 칸은 첫 판이 어두운 패널을 내려오는 처음 8초의 자리예요. 4,3 은 같이 돈 55판도 겨눴어요. 55판이 읽은 이 판의 PR 본문에는 처음 겨눈 4,4 가 적혀 있었고, 4,3 으로 옮긴 것은 그 뒤에 적었어요. 그래서 4,3 에는 55판의 Toussaint-Wilczek 과 Burrows-Wheeler 까지 다섯이 서요. 53판까지 든 438개에서 아홉이던 둘뿐인 칸이 54판의 열 개로 일곱이 되고, 55판까지 든 458개에서 여섯이에요. 남은 여섯 가운데 다섯은 촘촘함 축이 든 칸이고, 가장자리 × 복잡도 4,4 하나는 복잡도 축의 맨 위 칸이에요. + 55판의 열 개도 어느 축의 끝을 넘지 않아서 칸 경계는 53판 그대로이고, 448개에서도 지도 21장이 다 `none` 이에요. 처음 지은 Vuza Canon 은 켜진 몫이 0.074 라 채움 축의 아래 끝을 Dragon Fold 의 0.117 에서 끌어내릴 판이었어요. 채움 칸의 경계가 0.302, 0.558, 0.815 에서 0.268, 0.537, 0.806 으로 옮겨지면 Lava Lake 와 Moth Lamp 가 복잡도 × 채움 4,1 에서 빠져서, 성부마다 옅은 길잡이 줄을 깔아 0.243 으로 올렸어요. 주제 1 은 53판까지의 438개에 남은 둘뿐인 칸 여덟 가운데, 같이 돈 54판이 겨눈 복잡도 × 채움 4,2 와 촘촘함 × 모양 바뀜 4,4 를 빼고 가장자리 × 촘촘함 3,4 와 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 을 겨눴어요. 가장자리 × 촘촘함 3,4 는 40/255 를 넘는 이웃 차이의 몫이 0.500~0.790 이면서 이웃 차이의 평균이 0.297 을 넘어야 하는 칸이에요. Toussaint-Wilczek 은 2~8초에 LED 의 59% 에서 39% 를 한 LED 짜리 입자로 켜고 빈 LED 를 어둡게 두어 0.663, 0.344 에 섰어요. 촘촘함 × 모양 바뀜 4,3 은 이웃 차이의 평균이 0.297 을 넘으면서 2~8초에 4×16 칸 평균이 0.217~0.331 바뀌어야 하는 칸이에요. Burrows-Wheeler 는 밝기가 0.84 만큼 다른 두 글자의 행렬로 촘촘함 0.367 을 내고, 아직 모르는 행을 체커판 반쪽만 켜는 LF 걸음으로 모양 바뀜 0.273 을 냈어요. 두 패턴은 서로의 칸에도 들어가서 둘뿐이던 두 칸이 넷씩이 됐어요. Toussaint-Wilczek 의 모양 바뀜이 0.220, Burrows-Wheeler 의 가장자리가 0.760 이에요. 한 LED 짜리 칸이 판을 다 덮고 이웃끼리 밝기가 크게 다르면 촘촘함 축의 맨 위 줄에 서는데, 그 칸이 시간에 따라 넓은 덩어리로 모이거나 흐려지면 모양 바뀜도 함께 올라요. 23판부터 28판까지는 `*` 가 붙은 칸이 없었어요. 22판까지 남은 두 칸, 촘촘함 × 모양 바뀜 3,4 와 4,3 에 23판의 Bait Ball 과 Sequins 가 섰어요. 하나 남은 빈 칸이던 복잡도 × 채움 4,3 에는 24판의 Waggle Dance 가 섰어요. 복잡도가 2.173 을 넘고 채움이 0.558~0.815 인 자리예요. 복잡도 축 끝의 Contour Map(2.735)을 빼고 세면 차는 칸이라 `*` 가 붙지 않았고, 그 아래 복잡도 2.4~2.6 에 선 Woodpecker, Dripstone, Agate, Guilloché 는 채움이 다 0.93 을 넘었어요. 이제 지도 21장의 칸이 다 차서 `--gaps` 는 모든 줄에 `none` 을 찍어요. 주제 1 은 축 끝의 패턴 하나가 축을 늘려 새 빈 칸이 날 때까지 고를 칸이 없어요. Waggle Dance 에서 어려운 쪽은 채움이었어요. 벌집은 꺼진 LED 가 거의 없는 그림이라, 빈 방 바닥과 봉한 방 사이 이음매를 24 아래로 눌러 채움 0.732 를 냈어요. 복잡도는 켜진 LED 의 세 채널을 따로 흔드는 낟알로 쉽게 올라서, 첫 판은 오히려 2.766 으로 축 끝을 넘었어요. 25판도 기준 148개의 21장이 다 `none` 이라 주제 1 은 겨눌 칸이 없었어요. 그 대신 패턴이 하나만 선 칸을 셌어요. 148개에서 49칸이었고, 남은 자리로 짠 Penrose 가 그 가운데 여섯 칸에 둘째로 서서 158개에서는 43칸이에요. Penrose 가 겨눈 칸은 촘촘함 × 색 3,4 예요. 촘촘함 0.195~0.299 에 색 0.509 위인 자리이고, 4판의 Jacquard Loom 혼자 서 있었어요. Penrose 는 촘촘함 0.264, 색 0.583 으로 거기 섰어요. 같은 값으로 움직임 × 촘촘함 4,3 과 촘촘함 × 채움 3,3 의 Moire Rings, 촘촘함 × 복잡도 3,2 의 Peg Light, 복잡도 × 색 2,4 의 Gear Train, 채움 × 색 3,4 의 Marbling 곁에도 섰어요. 1 LED 어두운 선으로 나눈 작은 타일에 선명한 색을 여럿 두면 촘촘함과 색이 함께 높은 자리에 닿아요. 26판도 기준 158개의 21장이 다 `none` 이었어요. 패턴이 하나뿐인 칸 43 가운데 넷을 겨눴어요. Dark Field 는 검은 바탕 위의 흩은 빛으로 채움 0.263 에 촘촘함 0.222, 복잡도 2.081 이라, Foxfire 혼자이던 복잡도 × 채움 3,1 과 Peg Light 혼자이던 촘촘함 × 채움 3,1 에 씨앗 여덟이 다 들어요. Origami 는 어두운 탁자 위 종이 한 장이라 채움 0.264 이고, 2초의 정사각형이 8초에 좁은 학 기본형이 되어 모양 바뀜 0.255 로 Domino Run 혼자이던 채움 × 모양 바뀜 1,3 에 서요. Lichtenberg 는 Rabbit Ears 혼자이던 복잡도 × 모양 바뀜 4,3 에 씨앗 여덟 가운데 일곱이 들어요. 네 칸 말고는 바뀐 칸이 없어서, 168개에서 패턴이 하나뿐인 칸은 39칸이에요. 27판도 기준 168개의 21장이 다 `none` 이었고, 39칸 가운데 둘을 겨눴어요. Mitosis 는 채움 0.263, 색 0.540 으로 Neon Alley 곁의 채움 × 색 1,4 에 서요. 판의 4분의 1만 켜는 그림에서 색 0.5 를 넘기려면 켜진 LED 가 거의 다 순색 최대 밝기여야 해서, 형광의 번짐은 셈에 들지 않는 21/255 아래로 눌렀어요. Lava Lake 는 복잡도 2.222, 채움 0.271 로 Moth Lamp 곁의 복잡도 × 채움 4,1 에 서요. 복잡도는 프레임 바이트 값의 엔트로피를 거의 그대로 따라서, 어두운 지각의 결을 채널마다 0~24 전부로 넓히자 1.866 이 2.010 이 됐어요. 붉은 용암은 켜진 LED 하나에 24 를 넘는 바이트가 빨강 하나뿐이라, 이음매를 늘리기보다 주황 쪽으로 데우는 편이 채움을 덜 쓰고 복잡도를 벌었어요. 색 축의 아래 끝은 Cloud Chamber 의 0.052, 모양 바뀜 축의 아래 끝은 Climbing Wall 의 0.021 로 옮겨졌지만 혼자 서는 칸은 그대로라서, 178개에서 패턴이 하나뿐인 칸은 37칸이에요. 28판도 기준 178개의 21장이 다 `none` 이었고, 37칸 가운데 둘을 겨눴어요. Aztec Diamond 는 촘촘함 0.350, 색 0.640 으로 Millefiori 곁의 촘촘함 × 색 4,4 에 서요. 촘촘함은 가장 밝은 채널로 재서 네 색 도미노가 맞닿아도 턱이 없었고, LED 에 묶은 체커판이 그 턱을 줬어요. Stadium Billiard 는 움직임 2.362, 채움 0.186 으로 Warp 곁의 움직임 × 채움 4,1 에 서요. 공 이백 개가 1초에 125 LED 를 가면서 짧은 자취만 남겨요. 겨누지 않은 다섯 칸에도 둘째가 들어서 188개에서 패턴이 하나뿐인 칸은 30칸이에요. 29판도 기준 188개의 21장이 다 `none` 이었고, 30칸 가운데 둘을 겨눴어요. 28판이 모듈러 형식의 등고선으로 겨눠 보라던 가장자리 × 움직임 1,4(Mandelbrot 혼자)는 J-Invariant 가 움직임 0.372 로 모자랐고, Hopf Fibration 이 가장자리 0.207, 움직임 1.607 로 섰어요. 원 일흔 개가 저마다 1초에 몇 LED 씩 쓸고 가서 움직임이 높고, 원마다 옅은 빛 번짐을 둬서 가장자리가 낮아요. J-Invariant 는 복잡도 2.693, 색 0.400 으로 Spectrogram 곁의 복잡도 × 색 4,3 에 서요. 같은 판의 Cream Swirl(0.028)과 Serum Gel(0.079)이 가장자리 축의 아래 끝을 Fire 의 0.120 에서 내려서, 가장자리 칸 경계가 0.305, 0.560, 0.815 에서 0.232, 0.514, 0.796 으로 옮겨졌어요. 그래서 198개에서는 가장자리 × 촘촘함 1,2 가 23판 뒤로 처음 `*` 가 붙은 빈 칸이에요. 가장자리 0.232 아래에 촘촘함 0.091~0.195 인 자리라, 번지는 바탕 위에 잔 결이 고르게 깔린 그림이 들어설 수 있어요. 같은 지도의 1,3 과 1,4, 가장자리 × 채움 1,1 도 비었지만 끝의 패턴 하나를 빼면 차서 `*` 가 없어요. 198개에서 패턴이 하나뿐인 칸은 24칸이에요. @@ -2954,6 +3015,8 @@ ESP32-S3 로 옮길 때 걸릴 것도 있어요. Reaction Diffusion 은 Node 에 53판의 열 개는 가장 낮은 노브가 Max-Flow Min-Cut 의 K4 Grain 으로 네 자리로 0.0365 이고, 같은 패턴의 K2 Speed 0.0368 과 Catenoid-Helicoid 의 K3 Squares 0.0390 이 그다음이에요. 노브 마흔 개가 다 0.036 을 넘어요. 검은 바탕에 적은 점을 찍는 그림은 이번에도 색 노브가 약했어요. Costas Array 의 Hue 는 첫 판이 0.02 였고, 지금 울리는 음의 행을 띠로 칠하고 사본이 얹힌 판을 옅게 칠해 0.0419 가 됐어요. Euler's Elastica 의 Hue 는 막대와 작은 진자만 물들일 때 0.03 이었고, 상평면의 궤도 다섯을 θ 의 색으로 칠해 0.0447 이 됐어요. 노브를 재는 2~3초 창이 이번에도 첫 일을 정했어요. Barycentric Subdivision 의 Steer 는 첫 단이 2.7초라 창을 거의 다 덮어서 0.02 였고, 앞으로 갈 세 걸음을 흰 선으로 미리 긋고 한 단을 2.2초로 줄여 0.0697 이 됐어요. Max-Flow Min-Cut 의 Grain 은 용량이 고르게 흩어지는 쪽으로 두면 낮은 값에서 절단이 원천 막대에 붙어서, 용량을 매끄러운 지형과 관마다 제 몫으로 나누는 비율로 바꿨어요. Gaussian Periods 와 Squared Rectangle 은 넷 다 0.13 을 넘어요. 점마다 자리가, 타일마다 크기가 노브로 바뀌어서예요. +54판의 열 개는 가장 낮은 노브가 Størmer Trap 의 K1 Hue 로 네 자리로 0.0516 이고, Ulam Sequence 의 K2 Speed 0.0534 와 K1 Hue 0.0546 이 그다음이에요. 노브 마흔 개가 다 0.05 를 넘어요. 이번 판의 노브는 다 화면에 늘 있는 것을 바꿔서, 52판처럼 한 번 일어나는 일에 걸린 노브가 없었어요. 가는 선과 점만 켜진 그림은 색 노브가 약했어요. Størmer Trap 과 Ulam Sequence 는 채움이 0.292 와 0.152 라 색이 실린 LED 가 적어요. Ulam Sequence 의 첫 판은 항이 늘며 그림이 천천히 줄어들 뿐이라 움직임이 0.046 이었고, 새 항마다 제 칸 더미로 0.4초에 떨어지는 불똥을 더하자 0.201 이 되면서 Speed 도 창 안에서 보였어요. 노브 하나에 정리의 갈래를 건 판이 많았어요. Strange Eigenmode 의 K3 Stir 는 규칙 섬과 되풀이되지 않는 복소쌍, 주기마다 뒤집히는 모드를 차례로 지나요. Arcsine Law 의 K3 은 레비의 세 통계를, Ulam Sequence 의 K3 은 씨앗 여섯을 골라요. 문턱을 가운데 둔 노브에는 Lab 기본 0.06 이 문턱을 비켜 가게 죽은 띠를 뒀어요. Arcsine Law 의 Drift 는 ±0.08, Ulam Sequence 의 Detune 은 ±0.1 안에서 0 이에요. + 55판의 열 개는 가장 낮은 노브가 Vuza Canon 의 K1 Hue 로 네 자리로 0.0402 이고, 같은 패턴의 K4 Focus 0.0412 와 Buffon's Noodle 의 K1 Hue 0.0469 가 그다음이에요. 노브 마흔 개가 다 0.040 을 넘어요. 검은 바탕에 가는 것을 그리는 그림은 이번에도 고르는 노브가 약했어요. Vuza Canon 의 Focus 는 고른 성부만 굵게 남길 때 0.02 였고, 그 성부의 음마다 패널을 가로지르는 옅은 선을 긋자 0.04 를 넘었어요. Universal Cover 의 Depth 는 나무를 확대하는 노브로 둘 때 0.03 이었고, 단이 줄면 변을 늘여 나무가 늘 60 LED 너비를 채우게 하자 0.06 이 됐어요. 노브를 재는 2~3초 창이 이번에도 첫 일을 정했어요. Hex Theorem 은 7 × 7 판이 3.2초에 차서 첫 사슬이 3.03초에 섰고, 판을 2.7초에 채워 2.57초로 당기자 노브가 0.13, 0.12, 0.13, 0.07 에서 0.13, 0.13, 0.15, 0.10 이 됐어요. Burrows-Wheeler 와 Toussaint-Wilczek 은 넷 다 0.24 를 넘어요. 판을 다 덮은 한 LED 짜리 칸이 노브마다 통째로 바뀌어서예요. Flock, Harmonograph, Big Type 은 처음 화면이 빨강이에요. @@ -3010,11 +3073,13 @@ Flock, Harmonograph, Big Type 은 처음 화면이 빨강이에요. 53판에서는 Catenoid-Helicoid 와 Max-Flow Min-Cut 이 128줄을 써요. Catenoid-Helicoid 는 나선면이 축을 따라 판을 세로로 채우고, 키가 너비의 0.66 배를 넘지 못하는 현수면에서는 시선을 내려 입을 들여다보게 해서 `thirds` 가 25/61/30 이에요. Max-Flow Min-Cut 은 원천 막대에서 싱크 막대까지 그물이 판을 덮고 흐름이 아래에서 위로 올라가서 42/48/58 이에요. 위아래 두 줄씩의 막대를 빼도 한 칸에서 빠지는 몫이 4.7 이 안 돼서 세 칸이 다 5 를 넘어요. Barycentric Subdivision(99/95/85)과 Squared Rectangle(85/82/84), Gaussian Periods(21/48/21), Costas Array(26/17/16), Belt Trick(18/33/18), Leapfrogging Vortices(16/48/9), Four-Vertex Theorem(9/49/9)도 세 칸이 다 5 를 넘지만 주제 4 로 세지 않았어요. Euler's Elastica(16/18/17)는 120 LED 막대가 곧게 서면 판 높이를 다 쓰지만, 2~8초 동안 막대만 세면 2.8/18.2/2.4 라서 세지 않았어요. 위아래 칸은 진자와 상평면이 채워요. +54판에서는 Størmer Trap 과 Stable Marriage, Arcsine Law 가 128줄을 써요. Størmer Trap 은 쌍극자를 패널을 가로질러 눕혔어요. 자기력선 r = L cos²λ 는 축을 가로질러 2L 너비에 0.77L 높이라서, 축을 세우면 64 LED 너비 안의 덫이 가운데 24줄만 써요. 눕히자 고리가 위아래 끝까지 서서 `thirds` 가 21/40/26 이에요. Stable Marriage 는 청혼 하나하나가 위 가장자리의 16명에서 아래 가장자리의 16명까지 128줄을 가로지르는 선이라 45/40/46 이에요. Arcsine Law 는 한 걸음이 한 줄이라 126걸음이 패널 높이를 다 써서 83/72/63 이에요. Pearcey Cusp(97/84/91)와 STIT Tessellation(96/97/95), Nodal Domains(88/87/87)도 128줄을 다 쓰지만 주제 4 로 세지 않았어요. 셋 다 판 전체를 덮는 장이나 모자이크라 `thirds` 가 높이에 대해 말해 주는 것이 없어요. Ulam Sequence 는 위쪽에 작은 항 몇 개만 서서 5/20/20 이에요. + 55판에서는 Imaginary Geometry 와 Tissot's Indicatrix, Universal Cover 가 128줄을 써요. Imaginary Geometry 는 아래 가운데 한 점에서 떠난 흐름선이 위 가운데 한 점까지 판을 세로로 건너서, 뒤에 깐 방향 색을 22/255 로 낮춰 선만 세어도 `thirds` 가 33/37/34 예요. Tissot's Indicatrix 는 위도 ±85.05도를 128줄에 놓은 메르카토르라 원이 위아래 끝에서 가장 커서 41/72/48 이고, 경위선을 빼고 원만 세어도 33/60/40 이에요. Universal Cover 는 피복 공간을 바닥 공간 위에 그리는 그대로 나무를 위에, 8자 고리를 아래에 두어 20/21/15 예요. Burrows-Wheeler(82/81/81)와 Vortex Sheet(100/100/100), Toussaint-Wilczek(67/68/63), Question Mark Function(32/61/61), Hex Theorem(27/64/30), Vuza Canon(24/24/24), Buffon's Noodle(21/18/18)도 세 칸이 다 5 를 넘지만 주제 4 로 세지 않았어요. Vuza Canon 은 길잡이 줄을 빼면 6/7/8 이에요. ### 낯선 수학 -주제 5 로 쓴 수학과 다음에 해 볼 수학이에요. 28판이 처음 열 개를 썼어요. 슈람-뢰브너 진화(Loewner Trace), 포드 원(Ford Circles), 털 난 공 정리(Hairy Ball), 아즈텍 다이아몬드와 북극권(Aztec Diamond), 부니모비치 경기장(Stadium Billiard), 라우지 프랙탈(Rauzy Fractal), 고셋의 4₂₁ 다면체와 E8(Gosset Polytope), 콘웨이의 보고 말하기 수열(Look and Say), 위토프 게임의 그런디 값(Wythoff Nim), 쌍곡 평면의 띠 모형(Hyperbolic Band)이에요. 29판은 여섯을 더했어요. 클라인의 j 불변량(J-Invariant), 호프 올뭉치(Hopf Fibration), 다이슨 브라운 운동(Dyson Gas), 가케야 바늘 문제의 페론 나무(Perron Tree), 임계선 위의 리만 제타 함수(Zeta Loops), 길버트-섀넌-리즈 리플과 베이어-디아코니스의 일곱 번(Seven Shuffles)이에요. 30판도 여섯을 더했어요. 세 간격 정리(Three Gaps), 호프스태터 나비와 TKNN 정수(Hofstadter Butterfly), 노이만의 외부 당구(Outer Billiards), 볼드의 탄도 퇴적과 KPZ 앞면(Ballistic Deposition), 아르놀트의 미앤더(Meander), 브로드벤트와 해머슬리의 스미기(Percolation)예요. 31판도 여섯을 더했어요. 마스킷 조각의 클라인 군 극한 집합(Indra's Pearls), 리틀우드 다항식의 근(Littlewood Roots), 고든의 가우스 해자(Gaussian Moat), 아르놀트의 고양이 사상(Cat Map), 자부스키와 크루스칼의 KdV 솔리톤(KdV Solitons), 보이 곡면(Boy's Surface)이에요. ROUND.md 의 「낯선 수학 예」 여덟 가운데 쓴 것은 슈람-뢰브너 진화와 아즈텍 다이아몬드, 모듈러 형식, 호프 올뭉치, 세 간격 정리, 외부 당구 여섯이었고, 31판이 리틀우드 다항식의 근과 클라인 군의 극한 집합을 써서 여덟을 다 썼어요. 32판도 여섯을 더했어요. 탤벗 효과와 양자 카펫(Talbot Carpet), 길브레스 추측의 표(Gilbreath Table), 원 사상의 아르놀트 혀(Arnold Tongues), 콘웨이와 라딘의 핀휠 타일링(Pinwheel Tiling), 윌킨슨과 윌렘센의 침입 스미기(Invasion Percolation), 울람의 문제와 해머슬리 과정(Hammersley Lines)이에요. 33판도 여섯을 더했어요. 에인절, 홀로이드, 로믹, 비라그의 무작위 정렬 네트워크(Sorting Network), 베르트랑의 역설(Bertrand Paradox), 펜로즈의 비출 수 없는 방(Penrose Room), 당들랭 구(Dandelin Spheres), 테이트의 보로메오 고리(Borromean Rings), 골드바흐 혜성(Goldbach Comet)이에요. 34판도 여섯을 더했어요. 톰슨 문제와 오일러가 남기는 다섯 이웃 열둘(Thomson Problem), 켈빈의 배 물결(Kelvin Wake), 요네야마가 낸 와다의 호수(Lakes of Wada), 샤이데거의 강 그물(Scheidegger Rivers), 모저의 소파 문제와 해머슬리의 소파(Moving Sofa), 크누스의 춤추는 링크로 푼 펜토미노 덮기(Pentomino Cover)예요. 35판도 여섯을 더했어요. 뢸로의 폭이 일정한 곡선(Constant Width), 렌니의 주차 문제(Rényi Parking), 카리의 비주기 왕 타일(Kari-Culik Tiles), 콜라코스키 수열(Kolakoski), 쿠라모토와 바톡토흐의 키메라 상태(Chimera State), 주콥스키 날개(Joukowsky Airfoil)예요. 36판도 여섯을 더했어요. 그레이슨의 정리가 말하는 곡선 단축 흐름(Curve Shortening), 헤우드의 일곱 색 토러스 지도(Heawood Torus), 슈바르츠 랜턴(Schwarz Lantern), 윌브러햄과 깁스의 현상(Gibbs Phenomenon), 타원 곡선의 현과 접선(Elliptic Chords), 지먼의 파국 기계(Catastrophe Machine)예요. 37판도 여섯을 더했어요. 포천의 쓸기 선 알고리즘(Fortune's Sweep), 앙투안의 목걸이(Antoine's Necklace), 카르만 소용돌이 길의 안정성(Kármán Street), 단단한 원판의 헥사틱 상(Hexatic Phase), 존슨-멜 쪽매와 아브라미 법칙(Johnson-Mehl), 쿠라모토-시바신스키 방정식(Kuramoto-Sivashinsky)이에요. 38판도 여섯을 더했어요. 앤더슨 국소화(Anderson Localization), 무어가 찾고 Chenciner 와 Montgomery 가 증명한 세 몸 문제의 8자 해(Figure-Eight Orbit), 예센과 빈트너, 에르되시의 베르누이 합성곱(Bernoulli Convolutions), 브라우어르의 고정점 정리를 증명하는 슈페르너 보조정리(Sperner's Lemma), 에겐베르거와 폴리아의 항아리(Pólya Urn), 뇌르고르의 무한 수열(Infinity Series)이에요. 39판도 여섯을 더했어요. 고든, 웹, 월퍼트의 등스펙트럼 북(Isospectral Drums), 폰 망골트의 꼴로 쓴 리만의 명시 공식(Explicit Formula), 요한 베르누이의 최단 강하선(Brachistochrone), 슈타이너의 포리즘(Steiner Chain), 모런 집단으로 그린 킹먼의 합류(Kingman Coalescent), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam)예요. 40판도 여섯을 더했어요. 앨더스의 브라운 연속 랜덤 나무(Continuum Random Tree), 슈뢰딩거의 수소 원자 고유 함수(Hydrogen Orbital), 젤도비치 근사의 팬케이크(Zeldovich Pancakes), 망델브로가 내다보고 롤러, 슈람, 베르너가 증명한 브라운 운동의 바깥 경계(Brownian Frontier), 복소 긴즈부르크-란다우 방정식의 결함 난류(Defect Turbulence), 루퍼트 왕자의 정육면체(Prince Rupert's Cube)예요. 41판은 다섯을 더했어요. 홀과 왜건의 현수선 길과 정다각형 바퀴(Square Wheels), 퐁슬레의 포리즘(Poncelet Porism), 슐레플리의 4차원 정다포체를 자른 단면(Polytope Slices), 클림켁과 티먼, 마그누손의 사이트스왑(Siteswap), Dudeney 의 잡화상 퍼즐과 월리스-보여이-게르비엔 정리(Hinged Dissection)예요. 42판은 다섯을 더했어요. 바른스도르프 규칙으로 도는 기사 여행(Knight's Tour), 페르미와 파스타, 울람, 칭구의 되돌아옴(FPUT Recurrence), 포슬리에-립킨 반전기(Peaucellier Linkage), 몰리의 삼등분선 정리(Morley Triangle), 랄과 마드라스, 소칼의 피벗 알고리즘으로 돌린 자기 회피 걸음(Pivot Walk)이에요. 43판은 다섯을 더했어요. 월리스 워커의 칼레이도사이클(Kaleidocycle), 쌍곡형에서 록소드롬형으로 감기는 뫼비우스 변환의 흐름(Möbius Loxodrome), 터트의 용수철 정리(Tutte Embedding), 디펀트와 크래비츠의 고리 정리를 품은 히토메자시 사시코(Hitomezashi), 룽게 현상과 체비쇼프 점(Runge Phenomenon)이에요. 44판은 다섯을 더했어요. 마크 카츠의 고리 모형(Kac Ring), 스톤과 튜키의 햄 샌드위치 정리(Ham Sandwich), 브란트의 불가리아 솔리테어(Bulgarian Solitaire), 엘스켄스와 프리시의 탄도 소멸(Ballistic Annihilation), 페레그린의 솔리톤(Peregrine Soliton)이에요. 45판은 다섯을 더했어요. 로건-셰프와 베르시크-케로프의 극한 곡선으로 다가가는 영 도형의 플랑셰렐 성장(Plancherel Growth), 도브루신 경계 조건을 건 임계 이징 모형의 SLE(3) 경계(Ising Interface), 프리예제프와 동료들의 오일러 걷개로 쌓는 로터 라우터 응집과 레빈-페레스의 스매시 합(Rotor-Router), 폴리아의 과수원 문제(Pólya's Orchard), 넬슨의 평면 색칠 문제와 아이즈벨의 일곱 색(Hadwiger-Nelson)이에요. 46판은 다섯을 더했어요. 브릴루앙의 구역(Brillouin Zones), 모스 이론과 레브의 그래프(Reeb Graph), 로렌츠 기체와 시나이의 당구(Lorentz Gas), 리언 글래스의 점무늬(Glass Patterns), 벤치와 수테라, 불피아니의 확률 공명(Stochastic Resonance)이에요. 47판은 다섯을 더했어요. 오키프와 홍, 스트로가츠의 스워멀레이터(Swarmalators), 빌스의 외로운 달리기 선수 추측(Lonely Runner), 샤츠의 올로이드와 그 전개도(Oloid), 쾨베의 원 채우기 정리와 콜린스-스티븐슨의 반복(Koebe Packing), 콘웨이의 병사와 황금비 무게(Conway's Soldiers)예요. 48판은 다섯을 더했어요. 오하라의 매듭 뫼비우스 에너지(Möbius Energy), 체비쇼프의 편향과 루빈스타인-사르낙의 밀도(Chebyshev's Bias), 섀든과 레키엔, 마스든의 이중 소용돌이 능선(Double Gyre), 아자리와 프로스트의 깜빡이는 래칫(Flashing Ratchet), 망델브로의 프랙탈 스미기(Fractal Percolation)예요. 49판은 다섯을 더했어요. 뒤러의 전개 문제와 셰퍼드의 추측(Dürer's Unfolding), 베리와 골드버그가 재규격화한 세타 합의 꼬부랑 곡선(Curlicue), 오일러 방정식과 푸앵소의 폴호드로 본 테니스 라켓 정리(Tennis Racket), 켐프의 사슬과 네 색 정리(Kempe Chains), 퇴플리츠의 내접 정사각형 문제와 그린-로브의 직사각형(Square Peg)이에요. 50판은 다섯을 더했어요. 크레이치넌과 배철러의 2차원 난류가 거꾸로 가는 캐스케이드와 맥윌리엄스의 소용돌이(Inverse Cascade), 사포발과 로소, 구예의 확산 앞줄(Diffusion Front), 필리와 마르케티, 케이츠와 타이외르의 운동성 상분리(Motility Clusters), 박과 스네펜의 진화 모형(Bak-Sneppen), 리세의 영원한 가속(Risset Rhythm)이에요. 51판은 다섯을 더했어요. 스미스와 마이어스, 캐플런, 굿먼-스트라우스의 모자 타일과 H/T/P/F 메타타일 치환(Hat Monotile), 반도와 동료들의 최적 속도 모형과 스기야마의 원형 트랙 실험(Phantom Jam), 사토와 테이트의 법칙과 타원곡선의 a_p(Sato-Tate), 칼라비와 야우의 공간에서 핸슨이 잘라 그린 5차 페르마 곡선(Calabi-Yau Quintic), 에델스브루너와 레처, 조모로디언의 지속 호몰로지와 바코드(Persistence Barcode)예요. 52판은 다섯을 더했어요. 슈람과 셰필드가 등고선을 SLE(4) 로 보인 2차원 가우스 자유장(Gaussian Free Field), 당튀와 마즈무다르, 베링거의 광탄성 힘 사슬(Force Chains), 앤스컴의 사중주와 마테이카, 피츠모리스의 같은 통계 담금질(Anscombe's Quartet), 드 브라윈 수열과 BEST 정리(de Bruijn Sequence), 라인스의 베타 평면 띠 제트(Zonal Jets)예요. 53판은 열을 더했어요. 듀크, 가르시아, 루츠가 그린 가우스 주기(Gaussian Periods), 부르가 보인 현수면과 나선면의 휨(Catenoid-Helicoid), 디랙의 벨트 묘기(Belt Trick), 헬름홀츠와 러브의 연기 고리 개구리뜀(Leapfrogging Vortices), 브룩스, 스미스, 스톤, 텃의 정사각형 분할(Squared Rectangle), 포드와 풀커슨의 최대 흐름 최소 절단(Max-Flow Min-Cut), 코스타스 배열(Costas Array), 바라니, 비어든, 칸의 무게중심 분할(Barycentric Subdivision), 무코파디아야와 크네저의 네 꼭짓점 정리(Four-Vertex Theorem), 오일러의 엘라스티카(Euler's Elastica)예요. 55판은 열을 더했어요. 밀러와 셰필드의 허수 기하(Imaginary Geometry), 티소의 지시 타원과 메르카토르 투영(Tissot's Indicatrix), 민코프스키의 물음표 함수(Question Mark Function), 버로스와 휠러의 변환(Burrows-Wheeler), 뷔퐁의 바늘과 바르비에의 국수(Buffon's Noodle), 부자의 리듬 타일링 캐넌(Vuza Canon), 하인과 내시의 헥스와 게일의 헥스 정리(Hex Theorem), 8자 고리의 범피복과 자유군의 케일리 그래프(Universal Cover), 오브친니코프와 젤도비치, 투생과 윌첵의 확산 제한 소멸(Toussaint-Wilczek), 헬름홀츠와 켈빈의 와류 시트와 크라스니의 와동 덩이(Vortex Sheet)예요. +주제 5 로 쓴 수학과 다음에 해 볼 수학이에요. 28판이 처음 열 개를 썼어요. 슈람-뢰브너 진화(Loewner Trace), 포드 원(Ford Circles), 털 난 공 정리(Hairy Ball), 아즈텍 다이아몬드와 북극권(Aztec Diamond), 부니모비치 경기장(Stadium Billiard), 라우지 프랙탈(Rauzy Fractal), 고셋의 4₂₁ 다면체와 E8(Gosset Polytope), 콘웨이의 보고 말하기 수열(Look and Say), 위토프 게임의 그런디 값(Wythoff Nim), 쌍곡 평면의 띠 모형(Hyperbolic Band)이에요. 29판은 여섯을 더했어요. 클라인의 j 불변량(J-Invariant), 호프 올뭉치(Hopf Fibration), 다이슨 브라운 운동(Dyson Gas), 가케야 바늘 문제의 페론 나무(Perron Tree), 임계선 위의 리만 제타 함수(Zeta Loops), 길버트-섀넌-리즈 리플과 베이어-디아코니스의 일곱 번(Seven Shuffles)이에요. 30판도 여섯을 더했어요. 세 간격 정리(Three Gaps), 호프스태터 나비와 TKNN 정수(Hofstadter Butterfly), 노이만의 외부 당구(Outer Billiards), 볼드의 탄도 퇴적과 KPZ 앞면(Ballistic Deposition), 아르놀트의 미앤더(Meander), 브로드벤트와 해머슬리의 스미기(Percolation)예요. 31판도 여섯을 더했어요. 마스킷 조각의 클라인 군 극한 집합(Indra's Pearls), 리틀우드 다항식의 근(Littlewood Roots), 고든의 가우스 해자(Gaussian Moat), 아르놀트의 고양이 사상(Cat Map), 자부스키와 크루스칼의 KdV 솔리톤(KdV Solitons), 보이 곡면(Boy's Surface)이에요. ROUND.md 의 「낯선 수학 예」 여덟 가운데 쓴 것은 슈람-뢰브너 진화와 아즈텍 다이아몬드, 모듈러 형식, 호프 올뭉치, 세 간격 정리, 외부 당구 여섯이었고, 31판이 리틀우드 다항식의 근과 클라인 군의 극한 집합을 써서 여덟을 다 썼어요. 32판도 여섯을 더했어요. 탤벗 효과와 양자 카펫(Talbot Carpet), 길브레스 추측의 표(Gilbreath Table), 원 사상의 아르놀트 혀(Arnold Tongues), 콘웨이와 라딘의 핀휠 타일링(Pinwheel Tiling), 윌킨슨과 윌렘센의 침입 스미기(Invasion Percolation), 울람의 문제와 해머슬리 과정(Hammersley Lines)이에요. 33판도 여섯을 더했어요. 에인절, 홀로이드, 로믹, 비라그의 무작위 정렬 네트워크(Sorting Network), 베르트랑의 역설(Bertrand Paradox), 펜로즈의 비출 수 없는 방(Penrose Room), 당들랭 구(Dandelin Spheres), 테이트의 보로메오 고리(Borromean Rings), 골드바흐 혜성(Goldbach Comet)이에요. 34판도 여섯을 더했어요. 톰슨 문제와 오일러가 남기는 다섯 이웃 열둘(Thomson Problem), 켈빈의 배 물결(Kelvin Wake), 요네야마가 낸 와다의 호수(Lakes of Wada), 샤이데거의 강 그물(Scheidegger Rivers), 모저의 소파 문제와 해머슬리의 소파(Moving Sofa), 크누스의 춤추는 링크로 푼 펜토미노 덮기(Pentomino Cover)예요. 35판도 여섯을 더했어요. 뢸로의 폭이 일정한 곡선(Constant Width), 렌니의 주차 문제(Rényi Parking), 카리의 비주기 왕 타일(Kari-Culik Tiles), 콜라코스키 수열(Kolakoski), 쿠라모토와 바톡토흐의 키메라 상태(Chimera State), 주콥스키 날개(Joukowsky Airfoil)예요. 36판도 여섯을 더했어요. 그레이슨의 정리가 말하는 곡선 단축 흐름(Curve Shortening), 헤우드의 일곱 색 토러스 지도(Heawood Torus), 슈바르츠 랜턴(Schwarz Lantern), 윌브러햄과 깁스의 현상(Gibbs Phenomenon), 타원 곡선의 현과 접선(Elliptic Chords), 지먼의 파국 기계(Catastrophe Machine)예요. 37판도 여섯을 더했어요. 포천의 쓸기 선 알고리즘(Fortune's Sweep), 앙투안의 목걸이(Antoine's Necklace), 카르만 소용돌이 길의 안정성(Kármán Street), 단단한 원판의 헥사틱 상(Hexatic Phase), 존슨-멜 쪽매와 아브라미 법칙(Johnson-Mehl), 쿠라모토-시바신스키 방정식(Kuramoto-Sivashinsky)이에요. 38판도 여섯을 더했어요. 앤더슨 국소화(Anderson Localization), 무어가 찾고 Chenciner 와 Montgomery 가 증명한 세 몸 문제의 8자 해(Figure-Eight Orbit), 예센과 빈트너, 에르되시의 베르누이 합성곱(Bernoulli Convolutions), 브라우어르의 고정점 정리를 증명하는 슈페르너 보조정리(Sperner's Lemma), 에겐베르거와 폴리아의 항아리(Pólya Urn), 뇌르고르의 무한 수열(Infinity Series)이에요. 39판도 여섯을 더했어요. 고든, 웹, 월퍼트의 등스펙트럼 북(Isospectral Drums), 폰 망골트의 꼴로 쓴 리만의 명시 공식(Explicit Formula), 요한 베르누이의 최단 강하선(Brachistochrone), 슈타이너의 포리즘(Steiner Chain), 모런 집단으로 그린 킹먼의 합류(Kingman Coalescent), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam)예요. 40판도 여섯을 더했어요. 앨더스의 브라운 연속 랜덤 나무(Continuum Random Tree), 슈뢰딩거의 수소 원자 고유 함수(Hydrogen Orbital), 젤도비치 근사의 팬케이크(Zeldovich Pancakes), 망델브로가 내다보고 롤러, 슈람, 베르너가 증명한 브라운 운동의 바깥 경계(Brownian Frontier), 복소 긴즈부르크-란다우 방정식의 결함 난류(Defect Turbulence), 루퍼트 왕자의 정육면체(Prince Rupert's Cube)예요. 41판은 다섯을 더했어요. 홀과 왜건의 현수선 길과 정다각형 바퀴(Square Wheels), 퐁슬레의 포리즘(Poncelet Porism), 슐레플리의 4차원 정다포체를 자른 단면(Polytope Slices), 클림켁과 티먼, 마그누손의 사이트스왑(Siteswap), Dudeney 의 잡화상 퍼즐과 월리스-보여이-게르비엔 정리(Hinged Dissection)예요. 42판은 다섯을 더했어요. 바른스도르프 규칙으로 도는 기사 여행(Knight's Tour), 페르미와 파스타, 울람, 칭구의 되돌아옴(FPUT Recurrence), 포슬리에-립킨 반전기(Peaucellier Linkage), 몰리의 삼등분선 정리(Morley Triangle), 랄과 마드라스, 소칼의 피벗 알고리즘으로 돌린 자기 회피 걸음(Pivot Walk)이에요. 43판은 다섯을 더했어요. 월리스 워커의 칼레이도사이클(Kaleidocycle), 쌍곡형에서 록소드롬형으로 감기는 뫼비우스 변환의 흐름(Möbius Loxodrome), 터트의 용수철 정리(Tutte Embedding), 디펀트와 크래비츠의 고리 정리를 품은 히토메자시 사시코(Hitomezashi), 룽게 현상과 체비쇼프 점(Runge Phenomenon)이에요. 44판은 다섯을 더했어요. 마크 카츠의 고리 모형(Kac Ring), 스톤과 튜키의 햄 샌드위치 정리(Ham Sandwich), 브란트의 불가리아 솔리테어(Bulgarian Solitaire), 엘스켄스와 프리시의 탄도 소멸(Ballistic Annihilation), 페레그린의 솔리톤(Peregrine Soliton)이에요. 45판은 다섯을 더했어요. 로건-셰프와 베르시크-케로프의 극한 곡선으로 다가가는 영 도형의 플랑셰렐 성장(Plancherel Growth), 도브루신 경계 조건을 건 임계 이징 모형의 SLE(3) 경계(Ising Interface), 프리예제프와 동료들의 오일러 걷개로 쌓는 로터 라우터 응집과 레빈-페레스의 스매시 합(Rotor-Router), 폴리아의 과수원 문제(Pólya's Orchard), 넬슨의 평면 색칠 문제와 아이즈벨의 일곱 색(Hadwiger-Nelson)이에요. 46판은 다섯을 더했어요. 브릴루앙의 구역(Brillouin Zones), 모스 이론과 레브의 그래프(Reeb Graph), 로렌츠 기체와 시나이의 당구(Lorentz Gas), 리언 글래스의 점무늬(Glass Patterns), 벤치와 수테라, 불피아니의 확률 공명(Stochastic Resonance)이에요. 47판은 다섯을 더했어요. 오키프와 홍, 스트로가츠의 스워멀레이터(Swarmalators), 빌스의 외로운 달리기 선수 추측(Lonely Runner), 샤츠의 올로이드와 그 전개도(Oloid), 쾨베의 원 채우기 정리와 콜린스-스티븐슨의 반복(Koebe Packing), 콘웨이의 병사와 황금비 무게(Conway's Soldiers)예요. 48판은 다섯을 더했어요. 오하라의 매듭 뫼비우스 에너지(Möbius Energy), 체비쇼프의 편향과 루빈스타인-사르낙의 밀도(Chebyshev's Bias), 섀든과 레키엔, 마스든의 이중 소용돌이 능선(Double Gyre), 아자리와 프로스트의 깜빡이는 래칫(Flashing Ratchet), 망델브로의 프랙탈 스미기(Fractal Percolation)예요. 49판은 다섯을 더했어요. 뒤러의 전개 문제와 셰퍼드의 추측(Dürer's Unfolding), 베리와 골드버그가 재규격화한 세타 합의 꼬부랑 곡선(Curlicue), 오일러 방정식과 푸앵소의 폴호드로 본 테니스 라켓 정리(Tennis Racket), 켐프의 사슬과 네 색 정리(Kempe Chains), 퇴플리츠의 내접 정사각형 문제와 그린-로브의 직사각형(Square Peg)이에요. 50판은 다섯을 더했어요. 크레이치넌과 배철러의 2차원 난류가 거꾸로 가는 캐스케이드와 맥윌리엄스의 소용돌이(Inverse Cascade), 사포발과 로소, 구예의 확산 앞줄(Diffusion Front), 필리와 마르케티, 케이츠와 타이외르의 운동성 상분리(Motility Clusters), 박과 스네펜의 진화 모형(Bak-Sneppen), 리세의 영원한 가속(Risset Rhythm)이에요. 51판은 다섯을 더했어요. 스미스와 마이어스, 캐플런, 굿먼-스트라우스의 모자 타일과 H/T/P/F 메타타일 치환(Hat Monotile), 반도와 동료들의 최적 속도 모형과 스기야마의 원형 트랙 실험(Phantom Jam), 사토와 테이트의 법칙과 타원곡선의 a_p(Sato-Tate), 칼라비와 야우의 공간에서 핸슨이 잘라 그린 5차 페르마 곡선(Calabi-Yau Quintic), 에델스브루너와 레처, 조모로디언의 지속 호몰로지와 바코드(Persistence Barcode)예요. 52판은 다섯을 더했어요. 슈람과 셰필드가 등고선을 SLE(4) 로 보인 2차원 가우스 자유장(Gaussian Free Field), 당튀와 마즈무다르, 베링거의 광탄성 힘 사슬(Force Chains), 앤스컴의 사중주와 마테이카, 피츠모리스의 같은 통계 담금질(Anscombe's Quartet), 드 브라윈 수열과 BEST 정리(de Bruijn Sequence), 라인스의 베타 평면 띠 제트(Zonal Jets)예요. 53판은 열을 더했어요. 듀크, 가르시아, 루츠가 그린 가우스 주기(Gaussian Periods), 부르가 보인 현수면과 나선면의 휨(Catenoid-Helicoid), 디랙의 벨트 묘기(Belt Trick), 헬름홀츠와 러브의 연기 고리 개구리뜀(Leapfrogging Vortices), 브룩스, 스미스, 스톤, 텃의 정사각형 분할(Squared Rectangle), 포드와 풀커슨의 최대 흐름 최소 절단(Max-Flow Min-Cut), 코스타스 배열(Costas Array), 바라니, 비어든, 칸의 무게중심 분할(Barycentric Subdivision), 무코파디아야와 크네저의 네 꼭짓점 정리(Four-Vertex Theorem), 오일러의 엘라스티카(Euler's Elastica)예요. 54판은 열을 더했어요. 베리의 무작위 파동과 보고몰니, 슈미트가 스미기로 센 마디 영역(Nodal Domains), 피어험버트가 사인 흐름에서 찾은 이상 고유 모드(Strange Eigenmode), 피어시 적분과 베리, 업스틸의 첨점 회절 파국(Pearcey Cusp), 나겔과 바이스의 STIT 모자이크(STIT Tessellation), 레비의 아크사인 법칙(Arcsine Law), 스퇴르메르가 다룬 쌍극자 장 속 대전 입자(Størmer Trap), 게일과 섀플리의 지연 수락(Stable Marriage), 스메일의 말굽(Smale Horseshoe), 울람 수열과 슈타이너베르거가 찾은 숨은 진동수(Ulam Sequence), 위어와 펠런의 거품과 켈빈의 깎은 팔면체(Weaire-Phelan)예요. 55판은 열을 더했어요. 밀러와 셰필드의 허수 기하(Imaginary Geometry), 티소의 지시 타원과 메르카토르 투영(Tissot's Indicatrix), 민코프스키의 물음표 함수(Question Mark Function), 버로스와 휠러의 변환(Burrows-Wheeler), 뷔퐁의 바늘과 바르비에의 국수(Buffon's Noodle), 부자의 리듬 타일링 캐넌(Vuza Canon), 하인과 내시의 헥스와 게일의 헥스 정리(Hex Theorem), 8자 고리의 범피복과 자유군의 케일리 그래프(Universal Cover), 오브친니코프와 젤도비치, 투생과 윌첵의 확산 제한 소멸(Toussaint-Wilczek), 헬름홀츠와 켈빈의 와류 시트와 크라스니의 와동 덩이(Vortex Sheet)예요. 목록 밖에서 다음에 해 볼 것이에요. 수론 갈래는 32판의 Gilbreath Table 까지 넷이에요. 길브레스 표는 소수 말고 다른 수열로도 세울 수 있어요. 오들리코(1993)에 따르면 2 다음에 간격이 작고 고르게 흩어진 홀수가 오는 수열에서는 1 의 열이 서고, 간격이 크면 깨져요. 간격의 크기를 노브로 걸면 1 의 열이 무너지는 자리가 보여요. 해머슬리 과정의 점 대신 격자 칸마다 지수 분포 무게를 두면 마지막 통과 스미기(로스트, 1981)가 되고, 극한 모양이 쌍곡선에서 (√x+√y)² 의 경계로 바뀌어요. @@ -3070,6 +3135,8 @@ Flock, Harmonograph, Big Type 은 처음 화면이 빨강이에요. 53판에서 본 것이에요. 정리가 수를 못 박는 대상은 이번에도 셈으로 지켜봤어요. Squared Rectangle 은 86,400 프레임 동안 타일 넓이의 합이 큰 직사각형과 3.7e-15 안에서 같았고, Max-Flow Min-Cut 은 2,700판에서 흐름 값과 절단 용량이 한 번도 어긋나지 않았어요. Costas Array 는 배열 273개의 변위 241,856개가 겹치지 않았고, Four-Vertex Theorem 은 54,000 프레임 동안 꼭짓점이 늘 넷 이상의 짝수였어요. 정리가 그림에서도 서려면 그리는 셈이 정리의 꼴을 따라야 했어요. Belt Trick 은 리본 점의 매개변수를 리본을 따라 잰 길이 대신 정육면체 중심에서 잰 거리로 읽어서, 구면마다 한 덩이로 돌아 리본이 서로 뚫고 지나갈 수 없어요. Gaussian Periods 는 점을 직선으로 옮기면 다시 서는 동안 가운데로 몰려서, 단위근마다 짧은 호를 따라 돌게 했어요. 수학이 정한 비율은 패널에 그대로 들어가지 않았어요. 2:1 볼록 곡선의 옆 곡률 중심은 패널 밖 90 LED 에 있어서 Four-Vertex Theorem 은 1.4:1 로 세웠고, 현수면은 높이가 너비의 0.66 배를 넘지 못해 Catenoid-Helicoid 는 시선을 내렸어요. 엘라스티카의 물방울은 높이 31 에 너비 47 이에요. 대칭이 정리의 조건이기도 했어요. 평면 소용돌이 넷은 너비 비 0.38 아래에서 스스로 대칭을 깨서, 둥근 고리를 그리는 Leapfrogging Vortices 는 거울을 걸었어요. 극한을 말하는 정리는 이번에도 LED 한 칸에서 멈췄어요. Barycentric Subdivision 은 3 LED 아래로 가는 조각을 더 자르지 않아서, 깊이 4 와 5 가 3 과 같아 노브를 2 에서 3 사이로 줄였어요. +54판에서 본 것이에요. 이번에도 정리가 말하는 수를 패턴의 셈으로 재 봤어요. Nodal Domains 는 같은 코드를 상자 넷에 옮겨 넓이와 둘레로 맞추자 보고몰니-슈미트 상수의 0.968 배가 나왔고, Ulam Sequence 는 16,000 항 가운데 원의 다른 절반에 든 항이 2, 3, 47, 69 넷뿐이었어요. Stable Marriage 는 안정 매칭 16,000개에서 막는 쌍이 하나도 없었고, Weaire-Phelan 의 평평한 칸은 부피 1 에서 넓이가 켈빈 칸보다 0.371% 작았어요. 패널 크기가 정리의 수를 바꾸기도 했어요. Nodal Domains 의 영역은 64×128 에서 예측의 2.14 배라, 테두리가 영역을 잘라 늘린 조각을 둘레 항으로 빼야 상수가 나왔어요. Pearcey Cusp 는 영점 쌍이 LED 한 칸 안에 같이 들면 위상 감김이 서로 지워져서, 4배 촘촘한 격자에서 78개인 영점을 76개만 찾아요. 눈에 보이는 크기와 수학이 맞는 범위가 한 자리에서만 만나기도 했어요. Størmer Trap 의 회전 나선은 회전 반경이 2 LED 는 돼야 보이는데, 그 크기가 자기 모멘트가 깨지기 시작하는 자리라 단열 영역과 눈에 보이는 나선이 경계에서만 만나요. Smale Horseshoe 는 λ 를 하나로 정한 칸토어 띠의 가장 가는 틈이 가닥의 (1 − 2λ)/λ 배라서, 가닥을 한 LED 에 맞추면 틈은 0.3 LED 로 사라졌어요. 이웃한 가닥이 그레이 부호 차례로 늘 반대로 달리는 것을 색으로 칠하자 틈 대신 오르내림이 가닥을 갈랐어요. 고유 모드에는 부호가 없어서, Strange Eigenmode 는 같은 모드를 칠해도 씨앗이 고른 부호에 따라 채움이 0.41 에서 0.57 까지 갈렸어요. 왜도로 부호를 정하고 맨 앞 두 승수가 떨어진 자리에서 열고서야 잰 값이 씨앗을 타지 않았어요. 작은 어긋남이 큰 수에서 먼저 보였어요. Ulam Sequence 의 α 를 0.0004 만 비틀어도 위쪽의 작은 항은 제자리에 있고 아래쪽 큰 항부터 띠가 기울어 감겼어요. Arcsine Law 에 작은 치우침을 걸면 0 위의 시간과 최댓값의 시각이 먼저 무너지고 마지막 0 은 덜 움직였어요. 치우침 0.014 에서 앞의 둘은 법칙에서 0.051 벗어났고 마지막 0 은 0.011 이었어요. 마지막 0 은 걸음이 어느 쪽에 있는지가 아니라 돌아오는지만 묻기 때문이라고 봐요. 창 안의 무작위 과정은 창 밖을 몰라도 됐어요. STIT Tessellation 은 다이빙하며 칸을 패널 테두리로 잘라 버려도 칸 수가 창 공식대로 46 개 안팎에 머물렀어요. 넓이의 정리는 넓이가 아니라 꼴로 보였어요. Weaire-Phelan 의 0.37% 는 패널에서 보이지 않고, 한 변 28 LED 에서 8 LED 쯤인 오각형과 기둥 옆면에 줄지어 선 금색 육각형이 두 거품을 갈라요. + 55판에서 본 것이에요. 정리가 못 박는 것은 이번에도 셈으로 지켜봤어요. Imaginary Geometry 는 노브 여섯 조합에서 흐름선 13,338개가 한 번도 건너지 않았고, Hex Theorem 은 24,000판에서 늘 한 색만 이겼어요. Buffon's Noodle 은 길이 셋과 휨 다섯에 200,000번씩 떨어뜨려 평균이 2L/(πd) 와 0.005 안에서 맞았고, Universal Cover 는 100걸음 뒤 낱말이 평균 50.2 글자로 케스텐의 탈출 속도 1/2 에 맞았어요. Burrows-Wheeler 는 구간 교환 부호 250개의 마지막 열이 모두 글자마다 한 덩어리였어요. 수학이 정한 비율이 패널에 꼭 맞기도 했어요. 메르카토르를 위도 ±85.0511도에서 자르면 경도 180도와 정확히 1:2 라서, Tissot's Indicatrix 는 웹 메르카토르가 자르는 자리에서 잘랐어요. 연속이나 극한을 말하는 수학은 이번에도 LED 한 칸에서 멈췄어요. Vortex Sheet 는 4초가 지나면 코어의 겹이 LED 보다 촘촘해져 연보라 원판으로 차고, Question Mark Function 은 ?(0.1) 이 2^-9 라 계단이 8번 열 언저리에서야 바닥을 떠나요. κ 가 4 쪽으로 가면 흐름선이 LED 하나에 몇 라디안씩 꺾여서, Imaginary Geometry 는 장을 흐리는 폭을 4.1 LED 까지 넓혀야 했어요. 정리가 한 줄로 서는 그림은 패널에서도 한 줄로 읽혔어요. Vuza Canon 은 어느 줄에도 음이 꼭 하나라서 타일링이 1 LED 줄 하나로 보이고, Buffon's Noodle 은 다 휜 고리가 매번 선 두 개를 건너 오차 막대가 π 선에 납작하게 누워요. 목록 밖에서 31판 뒤에 해 볼 것이에요. 페르미-파스타-울람-칭구의 되돌아옴(1955)은 KdV Solitons 와 같은 뿌리라 같은 판에 두지 않아요. @@ -3114,6 +3181,8 @@ Flock, Harmonograph, Big Type 은 처음 화면이 빨강이에요. 목록 밖에서 53판 뒤에 해 볼 것이에요. 극소곡면의 연관족은 엔네퍼 면과 셰르크 면에도 있어서, Catenoid-Helicoid 의 체커와 법선 셈으로 다른 극소곡면의 휨을 그릴 수 있어요. 벨트 묘기의 H(1, t) 를 3차원 구면의 입체 사영으로 옆에 찍으면 360° 에 −1 에 닿았다 720° 에 1 로 돌아오는 점이 두 겹 덮개를 바로 보여요. Leapfrogging Vortices 의 거울을 풀면 너비 비 0.382 아래에서 개구리뜀이 스스로 대칭을 깨고 흩어지는 애치슨(2000)의 불안정을 노브 하나로 보일 수 있어요. 정사각형 분할은 쌍대 그물을 돌리면 90도 돌아간 분할이 나와서, 두 그물을 반씩 섞어 직사각형이 옆으로 눕는 장면이 돼요. 최소 절단은 평면 그물에서 쌍대 그래프의 최단 경로라, 다익스트라 물결이 왼쪽 벽에서 오른쪽 벽으로 번지며 웅덩이 테두리와 같은 선을 긋는 것을 보일 수 있어요. 골롬 자는 코스타스 배열의 성질을 1차원에 둔 것이고, 차수 32 와 33 은 코스타스 배열이 하나도 알려지지 않은 가장 작은 차수예요. 무게중심 분할에서 둥근 자식을 고르는 확률의 문턱은 2/9 와 1/3 사이에 있어서, 그 사이를 잘게 재면 납작해지는 걷기와 둥글게 머무는 걷기가 갈리는 자리를 찾을 수 있어요. 분리선 바깥에서 넘어 도는 진자는 곡률 부호가 바뀌지 않는 비굴곡 엘라스티카라서, 노브로 분리선을 건너면 오일러의 1744년 그림의 아홉 갈래가 한 판에 이어져요. 공간 곡선의 네 꼭짓점 정리(세디흐, 1992)도 있어요. +목록 밖에서 54판 뒤에 해 볼 것이에요. 보고몰니와 슈미트는 2007년에 뒤브르트랑과 함께 무작위 파동의 마디선이 SLE(6) 를 닮았다는 것을 수치로 보였어요. 패널을 가로지르는 마디선 하나를 따라가며 그 차원 7/4 를 재 볼 만해요. 확산을 0 으로 보낼 때 이상 고유 모드의 승수가 가는 곳은 폴리콧-뤼엘 공명(마크 폴리콧 1985, 다비드 뤼엘 1986)이라, 섭동한 고양이 사상 같은 단순한 사상에서 셈해 그릴 수 있어요. 피어시 다음의 회절 파국인 제비꼬리는 지수에 t⁵ 이 드는 적분이라 Pearcey Cusp 의 휜 적분 길을 그대로 써요. STIT 를 3차원 상자에서 돌려 평면으로 자른 단면도 평면 STIT 라서, 볼록 다면체로 갈라지는 3차원 STIT 의 단면을 천천히 밀어 올리는 그림이 될 만해요. 끝이 0 으로 묶인 브라운 다리에서는 0 위의 시간이 아크사인이 아니라 균등 분포를 따르고, 이산판은 카이 라이 정과 윌리엄 펠러의 정리(1949)예요. 묶은 걸음과 풀린 걸음을 나란히 세울 수 있어요. 토카막 장에서 갇힌 입자가 바나나 꼴로 오가는 바나나 궤도는 Størmer Trap 의 보리스 적분을 그대로 써요. 같은 목록의 안정 매칭 전체가 이루는 분배 격자는 회전을 하나씩 밟아 가는 그림이 돼요(로버트 어빙과 폴 리더, 1986). 굵은 고리를 길이로 두 배 늘여 제 안에 두 번 감아 넣는 스메일-윌리엄스 솔레노이드(스메일 1967, 윌리엄스 1967)는 단면이 칸토어 집합인 끌개라, 세운 패널에 고리를 위아래로 길게 늘여 그릴 만해요. 합이 꼭 s 가지인 항을 고르는 크노의 s-가법 수열(1972)에도 같은 숨은 진동수가 있는지 세어 볼 수 있어요. 프랑크-카스퍼 상의 다른 거품인 C15 라베스 상은 십이면체와 십육면체로 지어서 Weaire-Phelan 의 셈으로 넓이를 견줄 수 있어요. + 목록 밖에서 55판 뒤에 해 볼 것이에요. 같은 각도의 흐름선을 판 여러 점에서 띄우면 만나는 대로 합쳐져 나무가 되고, 그 나무를 따라 도는 곡선이 판을 다 메우는 SLE(16/κ) 예요. 밀러와 셰필드의 『Imaginary geometry IV』(2017)에 있어요. 같은 원들을 원통 대신 원뿔과 방위 투영에 얹으면 왜곡이 한 원이나 한 점 둘레로 모여서, 람베르트가 1772년에 낸 정각 원뿔 투영과 방위 등적 투영을 Tissot's Indicatrix 의 K4 로 오가게 해 볼 만해요. 콘웨이의 상자 함수(1976)는 물음표 함수를 뒤집은 꼴이라 같은 계단을 눕혀 실수 전체로 늘려 볼 수 있고, 슈테른의 이원자 수열(모리츠 슈테른, 1858)도 128줄을 채우는 산맥이 될 만해요. 천과 폭스, 린던의 린던 분해(1958)는 글을 사전순으로 커지지 않는 린던 단어들로 자르는 것이라, 조각마다 색이 다른 띠로 그려 볼 만해요. 크로프턴 공식(모건 크로프턴, 1868)은 Buffon's Noodle 과 같은 셈으로, 무작위 직선이 곡선을 건너는 수로 곡선의 길이를 재요. 리듬 타일링의 다른 끝은 푸글레드의 스펙트럼 추측(벤트 푸글레드, 1974)이고, 타오(2004)가 5차원에서 반례를 찾았어요. 삼각 격자 스미기에서 사각형을 가로지를 확률은 카디의 공식(존 카디, 1992)을 따르고 스미르노프(2001)가 증명해서, Hex Theorem 의 판 모양을 바꾸며 건넌 횟수를 세면 공식의 곡선에 다가가요. 자유군의 부분군은 8자 고리의 유한 피복이고, 스톨링스(1983)의 접기가 생성 낱말의 꽃잎 고리에서 같은 글자의 변을 하나씩 접어 그 피복을 만들어요. A + B → 0 에 입자를 끊임없이 고르게 넣어도 정상 상태에서 영역이 갈라져서(린덴버그, 웨스트, 코펠만, 1988), 영역이 패널 크기까지 퍼진 채 흔들리는 판을 세울 수 있어요. 한 주기에 두 파장을 넣고 반 파장 섭동을 더하면 이웃 나선이 서로 돌다 하나로 합치는 짝짓기(위넌트와 브라우언드, 1974)가 나와요. ### 화장품 팝업 diff --git a/incoming/pattern-study/index.html b/incoming/pattern-study/index.html index ff0401f43..149d3463d 100644 --- a/incoming/pattern-study/index.html +++ b/incoming/pattern-study/index.html @@ -210,8 +210,8 @@

패턴 연구

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